Para uporządkowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Para uporządkowana, zapisywana , może być utworzona z dowolnych elementów . Istotna w tej parze jest kolejność elementów: jest pierwszym elementem, zwanym poprzednikiem pary, a jest drugim elementem, zwanym następnikiem pary[1][2][a]. Jeśli symbol pary uporządkowanej mógłby być mylnie wzięty np. za przedział otwarty w zbiorze liczb rzeczywistych, używa się symbolu .

Podstawową, charakteryzującą własnością par uporządkowanych jest to, że

wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .

Wynika stąd, że wtedy i tylko wtedy, gdy .

Parę uporządkowaną należy odróżniać od pary nieuporządkowanej będacej zbiorem utworzonym z elementów , toteż .

Najważniejszym przykładem pary uporządkowanej są współrzędne punktu na płaszczyźnie.

Iloczyn kartezjański[edytuj]

Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których poprzednik należy do zbioru , a następnik do zbioru , nazywa się iloczynem kartezjańskim oraz , oznaczanym symbolem

.

Relacja dwuargumentowa nad dziedziną jest formalnie definiowana jako zbiór tych par , które pozostają w danej relacji, a zatem jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego .

W teorii mnogości pojęcie funkcji definiuje się jako zbiór par uporządkowanych , a więc też jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego .

Definicje teoriomnogościowe par uporządkowanych[edytuj]

Pojęcie pary uporządkowanej, intuicyjnie oczywiste, sprawia poważne trudności przy próbach zdefiniowania go w terminach aksjomatycznej teorii mnogości[3]. Nie można bowiem wtedy użyć takich określeń jak np. "kolejność elementów" czy "pierwsze miejsce". Felix Hausdorff[4] był świadom, że jego definicja (podana poniżej), w której używał symboli 1 i 2, ma ten mankament, że owe 1 i 2 nie mogą być symbolami liczb 1 i 2, bowiem mielibyśmy kolizję w przypadku, gdy lub okaże się liczbą 1 lub 2.

Własność charakterystyczna par uporządkowanych, wspomniana w poprzedniej sekcji, jest wszystkim, co jest konieczne do zrozumienia istoty par uporządkowanych matematyce. Dlatego para uporządkowana może być postrzegana jako pojęcie pierwotne, którego aksjomatem jest wspomniana własność charakteryzująca. Podejście to wykorzystywała grupa N. Bourbakiego w swojej Teorii mnogości wydanej w 1954 roku.

Niżej podano kilka definicji teoriomnogościowych pary uporządkowanej.

Definicja Wienera[edytuj]

Pierwszą teoriomnogościową definicję pary uporządkowanej zaproponował w 1914 roku Norbert Wiener[5]:

.

Zauważył on, że definicja ta umożliwiła zdefiniowanie typów Principia mathematica za pomocą zbiorów. W Principia Mathematica używano typów, dlatego relacje wszystkich arnościpojęciami pierwotnymi.

Definicja Hausdorffa[edytuj]

Mniej więcej w tym samym czasie co Wiener (1914) swoją definicję zaproponował Felix Hausdorff:

,

„gdzie i są dwoma różnymi obiektami różnymi od i [6].

Definicja Kuratowskiego[edytuj]

W 1921 roku Kazimierz Kuratowski przedstawił do dzisiaj przyjmowaną definicję[7] pary uporządkowanej :

[8].

Definicja pozostaje prawidłowa, jeśli pierwsza i druga współrzędna są identyczne, tzn.

.

Dla danej pary uporządkowanej własność „ jest pierwszym elementem” może być wyrażone jako

,

a własność „ jest drugim elementem ” jako

.

Należy zauważyć, że definicja ta jest dalej prawidłowa dla pary uporządkowanej

;

w tym przypadku wyrażenie

jest spełnione trywialnie, ponieważ nigdy nie zachodzi przypadek .

Inną metodą jest skorzystanie z działań iloczynu i sumy zbiorów:

,
.

Wtedy to jedyny element zbioru . Uzyskanie wymaga rozważenia dwóch przypadków:

  • jeśli , to i ;
  • jeśli , to , a więc , czyli to jedyny element tego zbioru.

Warianty[edytuj]

Powyższa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej jest „adekwatna” w tym sensie, iż spełnia własność charakteryzującą parę uporządkowaną (tzn. jeśli , to i ), ale również arbitralna, ponieważ istnieje wiele innych adekwatnych definicji o podobnej lub mniejszej złożoności, jak na przykład:

  • ,
  • ,
  • .

Para „odwrócona” jest mało interesująca, ponieważ brak jej jakiejkolwiek oczywistej zalety (lub wady) względem pary Kuratowskiego. „Krótka” para jest tak nazywana, gdyż w jej definicji korzysta się z dwóch, a nie trzech, nawiasów. Ma ona jednak tę wadę, że dowód własności charakteryzującej parę (zobacz wyżej) wymaga użycia aksjomatu regularności (z ZFC). Co więcej, jeśli przyjmie się standardową definicję liczb naturalnych, to jest zbiorem , który jest nieodróżnialny od pary .

Dowód własności charakteryzującej[edytuj]

Twierdzenie: wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .

Definicja Kuratowskiego
Jeżeli , to
,
oraz
,
stąd , a więc .
Jeżeli , to wtedy .
Załóżmy, że . Wówczas i dlatego . Ale wtedy również równałoby się , czyli , co przeczy .
Założenie dające przeczy .
Dlatego lub oraz .
Jeżeli byłoby prawdą, że , to , sprzeczność. A więc i dlatego i .
Odwrotnie: oraz , to . Stąd .
Definicja odwrócona
Prawdą jest, że .
Jeżeli , to , stąd oraz .
W przeciwną stronę, jeżeli i , to , a więc .

Definicja Quine’a-Rossera[edytuj]

Rosser (1953)[9] przyjął definicję pary uporządkowanej pod wypływem Willarda Van Ormana Quine’a, która wymaga wcześniejszego zdefiniowania liczb naturalnych. Niech będzie zbiorem liczb naturalnych oraz

.

Przyłożenie tej funkcji zwiększa o jeden liczbę naturalną w . W szczególności nie zawiera liczby , a więc dla dowolnych zbiorów oraz

.

Parę uporządkowaną definiuje się jako

.

Wydobycie wszystkich elementów z pary nie zawierających i anulowanie daje . Podobnie można odzyskać z elementów pary zawierających .

W teorii typów oraz w teoriach mnogości takich jak New Foundations, które zasadzają się na teorii typów, para ta ma ten sam typ co jej rzuty (stąd też nazywa się ją parą uporządkowaną „typ-poziom”). Dlatego definicja ta ma tę zaletę, iż funkcja zdefiniowana jako zbiór par uporządkowanych ma typ tylko o jeden wyższy niż typ jej argumentów. Szczegółowe informacje o parze uporządkowanej w kontekście teorii mnogości Quine’a znajdują się w pozycji Holmesa (1998)[10].

Definicja Morse’a[edytuj]

Teoria mnogości Morse’a-Kelleya (Morse, 1965)[11] korzysta w swobodny sposób z klas właściwych. Morse zdefiniował parę uporządkowaną tak, aby jej rzuty mogły być, obok zbiorów, klasami właściwymi (definicja Kuratowskiego na to nie zezwala). Najpierw zdefiniował on pary uporządkowane, których rzuty są zbiorami, na modłę Kuratowskiego. Następnie przedefiniował parę jako , gdzie składowe iloczyny kartezjańskie są parami Kuratowskiego na zbiorach. To właśnie ten drugi krok sprawia, że prawidłowe są pary, których rzuty są klasami właściwymi. Powyższa definicja Quine’a-Rossera również umożliwia użycie klas właściwych jako rzutów.

Trójki, czwórki, …, n-ki uporządkowane[edytuj]

 Osobny artykuł: trójka uporządkowana.
 Zobacz też: ciąg (matematyka).

Pary uporządkowane mogą mieć za elementy inne pary uporządkowane. Z tego powodu para uporządkowana może służyć definicji rekurencyjnej krotek (n-tek) uporządkowanych (uporządkowanych list n-elementowych). Na przykład trójka uporządkowana może być zdefiniowana jako , jedna para zagnieżdżona w innej. To podejście znajduje swoje odzwierciedlenie w językach programowania komputerów, gdzie można skonstruować listę elementów za pomocą zagnieżdżonych par uporządkowanych: lista oznacza . Język Lisp używa tego typu list jako podstawowej struktury danych.

Za pomocą pojęcia pary uporządkowanej można zdefiniować indukcyjnie kolejno trójki, czwórki, …, n-ki uporządkowane. W żargonie informatycznym, pojęcia te występują zbiorczo pod nazwą krotek (n-elementowych).

Dla n-kę uporządkowaną

definiuje się jako parę uporządkowaną

lub

.

Do celów technicznych można przyjąć umowę, że

oraz

.

Uwagi

  1. W innych, specjalnych kontekstach bywają używane też inne określenia, np. pierwsza współrzędna, druga współrzędna, rzut lewostronny, rzut prawostronny.

Przypisy

  1. Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968.
  2. Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydanie trzecie zmienione i poprawione, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1997, s. 269 ​ISBN 83-02-06609-5​.
  3. Z. Semadeni, Trudności epistemologiczne związane z pojęciami: pary uporządkowanej i funkcji, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria V: Dydaktyka Matematyki, t. 24 (2002), s.119-144.
  4. F. Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig, 1914.
  5. Praca Wienera „A Simplification of the logic of relations” została przedrukowana wraz z wartościowym komentarzem na stronach 224nn w van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ​ISBN 0-674-32449-8​ (pbk.). van Heijenoort wyraża uproszczenie w następujący sposób: „Zdefiniowanie pary uporządkowanej dwóch elementów za pomocą operacji klasowych sprawia, iż uwaga redukuje teorię relacji do teorii klas”. (By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes).
  6. Zob. wprowadzenie do pracy Wienera w van Heijenoort 1967:224.
  7. Zob. wprowadzenie do pracy Wienera w van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort zauważa, że zbiór wynikowy, który reprezentuje parę uporządkowaną „ma typ wyższy o 2 od swoich elementów (jeśli są tego samego typu)” (has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)); przedstawia również źródła, które, pod pewnymi warunkami, pokazują jak typ może być zredukowany do , czy .
  8. Jacek Cichoń, Wykłady ze wstępu do matematyki, s. 131, Definicja C.1.
  9. John Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
  10. M. Randall Holmes: Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant, 1998. Wydawca wyraził zgodę na udostępnienie tej monografii w sieci (prawa autorskie są zastrzeżone).
  11. Anthony P. Morse: A Theory of Sets. Academic Press, 1965.