Kategoria (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane'a[1].

Definicja[edytuj]

Formalnie każda kategoria składa się z dwóch klas[2][a]:

  • klasy , której elementy nazywamy obiektami kategorii ,
  • klasy , której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii , przy czym spełnione mają być następujące warunki:
    • każdej parze uporządkowanej dwóch obiektów A, B przyporządkowana jest klasa morfizmów z A do B, oznaczana też czasem , lub . Jeżeli , to obiekt A nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu f, a B – jego końcem lub kodziedziną; zamiast pisze się też ,
    • każdy morfizm f należy do tylko jednej klasy ,
    • w klasie określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów , jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy B = C; gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru . Nazywamy go złożeniem morfizmów f i g oraz oznaczamy lub gf.
    • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli , oraz , to wówczas ,
    • do każdego należy taki morfizm idA, że dla dowolnych morfizmów i mamy oraz . Morfizmy idA nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli , to piszemy i .

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów klasa jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady[edytuj]

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

  • Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór. jest zbiorem odwzorowań zbioru A w zbiór B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
  • Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. jest zbiorem homomorfizmów grupy A w grupę B. Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. jest zbiorem homomorfizmów grupy A w grupę B. Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria VectK, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K, a morfizmy są odwzorowaniami K-liniowymi. jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
  • Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające. jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
  • Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
  • Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
  • Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru A w zbiór B są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru ; złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
  • Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) x, y istnieje morfizm z x do y wtedy i tylko wtedy, gdy . Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu x, a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
  • Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii można utworzyć jej kategorię dualną .

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Takie sformułowanie wymaga odpowiedniego systemu aksjomatów teorii mnogości, aby uniknąć antynomii zbioru wszystkich zbiorów; p. Teoria kategorii, część Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.

Przypisy

  1. Eilenberg i Mac Lane 1945 ↓.
  2. Советская энциклопедия, t. 2, op. cit., s. 761

Bibliografia[edytuj]

  1. S. Eilenberg, S. Mac Lane. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 58, s. 231-294, 1945. Amer. Math. Soc.. 
  2. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  3. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.
  4. Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  5. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.

Linki zewnętrzne[edytuj]

  • Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). [dostęp 2011-08-26].