Ilustracja dwóch niezależnych zmiennych losowych o jednakowych jednostajnych rozkładach dyskretnych
W teorii prawdopodobieństwa i statystyce zmienne losowe są niezależne i mają jednakowe rozkłady (ang. independent and identically distributed , i.i.d.)[1] , jeżeli każda z nich ma ten sam rozkład prawdopodobieństwa , a wszystkie są niezależne od siebie. Definicja ta znajduje zastosowanie na przykład w eksploracji danych i przetwarzaniu sygnałów .
Załóżmy, że zmienne losowe
X
{\displaystyle X}
i
Y
{\displaystyle Y}
przyjmują wartości dla
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
. Niech
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
oraz
F
Y
(
y
)
=
P
(
Y
≤
y
)
{\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (Y\leq y)}
będą dystrybuantami
X
{\displaystyle X}
oraz
Y
{\displaystyle Y}
. Oznaczmy przez
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
∧
Y
≤
y
)
{\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x\land Y\leq y)}
ich wspólną dystrybuantę .
Dwie zmienne losowe
X
{\displaystyle X}
i
Y
{\displaystyle Y}
mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy , gdy
F
X
(
x
)
=
F
Y
(
x
)
∀
x
∈
I
{\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,\forall x\in I}
.
Dwie zmienne losowe
X
{\displaystyle X}
i
Y
{\displaystyle Y}
są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
⋅
F
Y
(
y
)
∀
x
,
y
∈
I
{\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,\forall x,y\in I}
.
Dwie zmienne losowe
X
{\displaystyle X}
i
Y
{\displaystyle Y}
są niezależne i mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy
F
X
(
x
)
=
F
Y
(
x
)
∀
x
∈
I
oraz
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
⋅
F
Y
(
y
)
∀
x
,
y
∈
I
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,&\forall x\in I&\quad {\text{oraz}}\\&F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,&\forall x,y\in I&\end{aligned}}}
.
Powyższą definicję można rozszerzyć na więcej niż dwie zmienne losowe:
n
{\displaystyle n}
zmiennych losowych
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
jest niezależnych i ma jednakowy rozkład wtedy i tylko wtedy, gdy
F
X
1
(
x
)
=
F
X
k
(
x
)
∀
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
i
∀
x
∈
I
oraz
F
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
F
X
1
(
x
1
)
⋅
…
⋅
F
X
n
(
x
n
)
∀
x
1
,
…
,
x
n
∈
I
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{X_{1}}(x)=F_{X_{k}}(x)\,&\forall k\in \{1,\ldots ,n\}~{\text{i}}~\forall x\in I&\quad {\text{oraz}}\\&F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\,&\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in I&\end{aligned}}}
,
gdzie
F
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
P
(
X
1
≤
x
1
∧
…
∧
X
n
≤
x
n
)
{\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1}\land \ldots \land X_{n}\leq x_{n})}
jest wspólną dystrybuantą
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
.