Rozkład prawdopodobieństwa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozkład prawdopodobieństwamiara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Definicja formalna[edytuj]

Rozkładem prawdopodobieństwa nazywa się dowolną miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej. Dla rozkładów ciągłych często jest nią zbiór liczb rzeczywistych (tzw. rozkład jednowymiarowy) lub przestrzeń euklidesowa dla pewnej liczby naturalnej (rozkład wielowymiarowy).

Zastosowanie dla zmiennych losowych[edytuj]

Zwykle rozważa się tzw. przestrzeń probabilistyczną, złożoną z przestrzeni zdarzeń elementarnych , określonego na niej σ-ciała , którego elementy są nazywane zdarzeniami losowymi, oraz miary probabilistycznej , przyporządkowującej zdarzeniom liczby zwane prawdopodobieństwami. Tak określone prawdopodobieństwa są jednak niewygodne do badania, gdyż może być dowolnym zbiorem, nawet bez zadanych jakichkolwiek relacji między jego elementami.

Wprowadza się zatem funkcję mierzalną zwaną zmienną losową, która przyporządkowuje elementom przestrzeni zdarzeń elementarnych elementy pewnej przestrzeni mierzalnej o pożądanych właściwościach[1]. Najczęściej wykorzystuje się przestrzeń euklidesową a zmienną nazywa się wówczas wektorem losowym. Czasem miano zmiennej losowej rezerwuje się tylko dla przypadku jednowymiarowego

Przeciwobraz każdego zbioru mierzalnego w , jest zdarzeniem losowym. Mierzalne podzbiory tworzą także σ-ciało . Ponieważ zmienna losowa nie musi być funkcją różnowartościową, więc ten sam zbiór mierzalny można w ogólnym przypadku otrzymać z wielu różnych zdarzeń o różnych prawdopodobieństwach. Aksjomaty σ-ciała zapewniają, że wśród tych zdarzeń jest także ich suma i do niej jest przypisane największe prawdopodobieństwo. Suma ta jest równa przeciwobrazowi zbioru , czyli .

Rozkład zmiennej losowej to funkcja określona na wzorem .

Rozkład jest nową miarą probabilistyczną. Jest on w przestrzeni stanów odpowiednikiem miary probabilistycznej .
Uwaga: Zapis gdzie jest zdarzeniem a nie zmienną losową jest stosowany na oznaczenie prawdopodobieństwa warunkowego.

Wyróżnia się niżej omówione rozkłady ciągłe i dyskretne, jednak należy pamiętać, iż oprócz nich istnieją także rozkłady nie mieszczące się w żadnej z tych kategorii – na przykład rozkład o dystrybuancie Cantora.

Rozkład ciągły[edytuj]

Jeżeli istnieje funkcja , taka że

(całka Lebesgue'a) dla dowolnego zbioru borelowskiego , to funkcję tę nazywa się gęstością (rozkładu) prawdopodobieństwa lub funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Nazwa pochodzi od intuicji fizycznych, zob. gęstość masy. O rozkładzie mającym gęstość mówi się, że jest ciągły (lub typu ciągłego).

Powyższa definicja jest poprawna dla dowolnych rozkładów prawdopodobieństwa, także wielowymiarowych – wówczas jest wektorem.

Rozkład zmiennej losowej spełniający powyższe warunki definiuje się analogicznie. O zmiennej losowej również mówi się wówczas, iż jest ciągła (lub typu ciągłego).

Rozkład dyskretny[edytuj]

Rozkład nazywa się dyskretnym, jeśli jest skupiony na zbiorze przeliczalnym, tzn. istnieje zbiór (co najwyżej) przeliczalny dla którego . Jeżeli

oraz dla każdego ,

to dla dowolnego zbioru borelowskiego

,

gdzie to indykator (funkcja charakterystyczna) zbioru .

Zatem zbiór par jednoznacznie wyznacza rozkład . Stąd dowolny zbiór tej postaci, gdzie oraz (co wynika z własności rozkładu), nazywa się czasami rozkładem (dyskretnym). Odwzorowanie , oznaczane , nosi nazwę funkcji masy prawdopodobieństwa i jest ono dyskretnym odpowiednikiem gęstości prawdopodobieństwa.

Dyskretna zmienna losowa to zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym. Wówczas można go zdefiniować podobnie jak wyżej równością

,

jednakże w tym wypadku zachodzi dodatkowo

,

gdzie jest zbiorem wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną .

Dystrybuanta[edytuj]

 Osobny artykuł: dystrybuanta.

Badanie rozkładu jako miary jest zadaniem dość trudnym, jednak można je znacząco uprościć wprowadzając funkcję dystrybuanty, która całkowicie go opisuje i jest funkcją przestrzeni euklidesowej w przedział .

Dystrybuanta rozkładu jednowymiarowego[edytuj]

Dystrybuanta jednowymiarowego rozkładu (prawdopodobieństwa) to funkcja , zdefiniowana wzorem:

.

Dystrybuanta (rozkładu) zmiennej losowej , to dystrybuanta , oznaczana zwykle symbolem , otrzymana z rozkładu tej zmiennej losowej:

Dystrybuanta w pełni wyznacza rozkład, tzn. dwie zmienne o tej samej dystrybuancie muszą mieć ten sam rozkład; obrazuje to poniższy przykład.

Jeśli rozkład ma gęstość , jego dystrubuanta wyraża się wzorem:

.

Przykład[edytuj]

Niech będzie modelem doświadczenia losowego polegającego na rzucie monetą, które może z jednakowym prawdopodobieństwem dać dwa wyniki: orła i reszkę. Stąd

oraz .

Jeżeli zmienna jest określona równościami

oraz ,

to jej rozkład jest określony następująco:

,

funkcja masy prawdopodobieństwa ma z kolei postać:

,

co oznacza, że zmienna losowa odwzorowuje zdarzenia

,

oraz zachowuje prawdopodobieństwo określone na przekształcając je w rozkład określony na .

Niech będzie modelem opisującym jak wyżej rzut monetą poszerzone o dodatkowy wynik: upadek na kant, który prawie na pewno się nie zdarzy. Jeżeli

oraz ,

to zmienna losowa określona równościami

oraz ,

będzie miała taki sam rozkład (oraz funkcję masy) co zmienna określona wyżej, mimo iż są one różne.

Z definicji dystrybuanty wynika, iż prawdopodobieństwo zdarzenia

dane jest wzorem

.

Dystrybuanta zmiennej to funkcja określona wzorem

Warto zauważyć, iż dystrybuanta zmiennej dana jest tym samym wzorem co dystrybuanta .

Dystrybuanta rozkładu wielowymiarowego[edytuj]

Jeśli jest wektorem losowym, tzn. , to zmienia się nieco postać dystrybuanty. Rozważa się wówczas przedziały wielowymiarowe, tzn. zbiory będące iloczynami kartezjańskimi przedziałów prostej postaci

;

dystrybuanta takiego zdarzenia zapisywana jest zwykle jako

.

Stosuje się następujący zapis dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej:

,

gdzie . Jeżeli przyjmie się , to zapis

nie prowadzi zwykle do większych nieporozumień.

Jeśli rozkład wielowymiarowy ma gęstość , jego dystrybuanta wyraża się wzorem (całka Lebesgue'a):

.

Zwykle wzór ten spotyka się w prostszej wersji, choć o mniejszym zakresie stosowalności (nie każdą całkę Lebesgue'a da się w ten sposób rozbić):

Dodatkowe definicje[edytuj]

Zmienna losowa ma rozkład osobliwy (singularny), jeśli ma ciągłą dystrybuantę i istnieje zbiór , który ma zerową miarę Lebesgue'a, ale jednostkowy rozkład (miarę) prawdopodobieństwa, tzn. oraz

Rozkłady skoncentrowane na zbiorze punktów postaci , gdzie nazywa się arytmetycznymi. To, iż rozkład jest skupiony na zbiorze jest równoważne temu, iż jego funkcja charakterystyczna ma okres równy bądź dla pewnego . Z obserwacji funkcji charakterystycznych wynika, iż arytmetyczne są rozkłady: geometryczny, Bernoulliego i Poissona; rozkłady jedno- i dwupunktowe są przesuniętymi rozkładami tego typu.

Popularne rozkłady[edytuj]

Rozkłady ciągłe[edytuj]

Wybrane rozkłady gęstości prawdopodobieństwa:
ƒN(x)rozkład normalny,
ƒE(x)rozkład wykładniczy,
ƒR(x)rozkład jednostajny,
ƒT(x)rozkład trójkątny,
ƒD(x)– rozkład delty Diraca dla zmiennej pewnej.

Rozkłady dyskretne[edytuj]

Pozostałe[edytuj]

Statystyka[edytuj]

Jeśli mamy na myśli rzeczywiste prawdopodobieństwa wystąpienia danej wartości cechy w populacji, to mówimy o rozkładzie w populacji. Jeśli mamy na myśli prawdopodobieństwa wystąpienia danej cechy wyznaczone podczas badania statystycznego, to mówimy o rozkładzie empirycznym.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Ściślej musi to być funkcja -mierzalna, gdzie jest rodziną podzbiorów borelowskich przestrzeni . Jako zwykle wybiera się jedną z tzw. przestrzeni polskich, do których zaliczają się w szczególności przestrzenie euklidesowe.