Podobieństwo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Inne znaczenia Ten artykuł dotyczy geometrii. Zobacz też: podobieństwo macierzy.

Definicja intuicyjna


figury podobne to figury mające ten sam kształt, ale mogące różnić się wielkością.

Podobieństwoprzekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej (X,d)\, na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów M, N\, i pewnej liczby k > 0\, zależność:

d(M',N') = k\cdot d(M,N).

gdzie punkty M', N'\,obrazami punktów odpowiednio M, N\,, a d\, – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru X\,.

Liczbę k\, nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy k=1, podobieństwo jest izometrią.

W szczególności X\, może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur \;A i \;B oznacza się symbolicznie jako \;A \sim B.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

  • stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
  • odpowiadające sobie kąty są przystające,
  • stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
  • stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw:

  • stosunek długości odcinków,
  • równość odcinków,
  • miara kąta,
  • prostokąt,
  • okrąg, koło,
  • sfera, kula.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]