Podobieństwo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy geometrii. Zobacz też: podobieństwo macierzy.

Podobieństwoprzekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Kształt figur jest zachowany, ale ich wielkości mogą się różnić. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

Definicja[edytuj]

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów i pewnej liczby zależność:

.

gdzie punkty obrazami punktów odpowiednio , a – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru .

Liczbę nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy , podobieństwo jest izometrią.

W szczególności może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur i oznacza się symbolicznie jako .

Przykłady[edytuj]

Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

Własności[edytuj]

  • Złożenie podobieństw o skalach jest podobieństwem o skali
  • Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali jest podobieństwem o skali .
  • Dowolne podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności o skali równej skali podobieństwa.
  • Dowolne podobieństwo niebędące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia.

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

  • stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
  • odpowiadające sobie kąty są przystające,
  • stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
  • stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw:

  • stosunek długości odcinków,
  • równość odcinków,
  • miara kąta,
  • prostokąt,
  • okrąg, koło,
  • sfera, kula.

Zobacz też[edytuj]