Podobieństwo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy geometrii. Zobacz też: podobieństwo macierzy.

Definicja intuicyjna:
figury podobne to figury mające ten sam kształt, ale mogące różnić się wielkością.

Podobieństwoprzekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej (X,d)\, na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów M, N\, i pewnej liczby k > 0\, zależność:

d(M',N') = k\cdot d(M,N).

gdzie punkty M', N'\,obrazami punktów odpowiednio M, N\,, a d\, – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru X\,.

Liczbę k\, nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy k=1, podobieństwo jest izometrią.

W szczególności X\, może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur \;A i \;B oznacza się symbolicznie jako \;A \sim B.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

  • stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
  • odpowiadające sobie kąty są przystające,
  • stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
  • stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw:

  • stosunek długości odcinków,
  • równość odcinków,
  • miara kąta,
  • prostokąt,
  • okrąg, koło,
  • sfera, kula.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]