Potęga punktu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rys. 1. Potęga punktu na zewnątrz okręgu jest równa kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu A do okręgu o
Rys. 2. Potęga punktu wewnątrz okręgu jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu o przechodzącej przez punkt A

Potęga punktu względem okręgu – liczba równa , gdzie jest środkiem okręgu , jego promienieniem[1]. Z definicji wynika, że

  • dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. jest wtedy równe kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu do okręgu (rys. 1).
  • dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu przechodzącej przez punkt (rys. 2).
  • dla punktów leżących na okręgu.

Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

Twierdzenie. Niech będzie dany punkt A.
Jeśli punkty będą punktami przecięcia dowolnej prostej przechodzącej przez punkt z okręgiem , to

  • , jeśli A leży na zewnątrz okręgu,
  • , jeśli A leży wewnątrz okręgu.

Jeśli punkt jest punktem styczności prostej z okręgiem, to

  • [2].

Dowód. Zgodnie z twierdzeniem o siecznych iloczyn jest taki sam niezależnie od wyboru cięciwy wyznaczonej przez . Jeśli jedną z tych cięciw będzie średnica okręgu, to zajdzie równość . Stąd teza.

W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин: Энциклопедия элементарной математики. Wyd. 1. T. 4: Геометрия. Москва. s. 454-458.
  2. H. S. M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. 1967, s. 97-98.