Sieczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Sieczna przecina krzywą w punktach
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: Sieczna – rzeka na Ukrainie.

Siecznaprosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt[edytuj | edytuj kod]

Dla danego punktu i okręgu dla każdej siecznej przechodzącej przez i przecinającej w punktach i wartość wyrażenia jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Secant line-proof.svg

Dla na zewnątrz okręgu[edytuj | edytuj kod]

Poprowadźmy z punktu styczną i sieczną okręgu Punkt styczności nazwijmy a punkty przecięcia z sieczną i gdzie Kąt jest kątem wpisanym opartym na cięciwie więc przystaje do kąta dopisanego Trójkąty i mają wspólny kąt a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że:

Po wymnożeniu obustronnie przez otrzymujemy

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej a jest stałe, to też musi być stałe, co kończy dowód.

Secsecl.png

Dla wewnątrz okręgu[edytuj | edytuj kod]

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

co było do udowodnienia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]