Sieczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Sieczna S przecina krzywą K w punktach P,Q

Siecznaprosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt[edytuj]

Dla danego punktu P i okręgu o, dla każdej siecznej przechodzącej przez P i przecinającej o w punktach A i B wartość wyrażenia jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

Dowód[edytuj]

Secant line-proof.svg

Dla P na zewnątrz okręgu[edytuj]

Poprowadźmy z punktu P styczną i sieczną okręgu o. Punkt styczności nazwijmy T, a punkty przecięcia z sieczną A i B, gdzie |PA|<|PB|. Kąt PBT jest kątem wpisanym opartym na cięciwie TA, więc przystaje do kąta dopisanego ATP. Trójkąty ATP i TBP mają wspólny kąt TPB, a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że: . Po wymnożeniu obustronnie przez otrzymujemy

.

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej , a jest stałe, to też musi być stałe, co kończy dowód.

Secsecl.png

Dla P wewnątrz okręgu[edytuj]

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

co kończy dowód.

Zobacz też[edytuj]