Problem silnie NP-zupełny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Problem silnie NP-zupełny (ang. Strongly NP-Complete) to taki problem decyzyjny, który nawet przy ograniczeniu maksymalnej wartości występujących w jego opisie liczb pozostaje NP-zupełny.

Istnienie algorytmu pseudowielomianowego dla dowolnego problemu silnie NP-zupełnego implikowałoby równość P=NP, a więc jest uważane za wysoce nieprawdopodobne. Natomiast problemy silnie NP-zupełne pozostałyby NP-zupełne nawet przy kodowaniu unarnym, stąd też są również znane jako problemy jedynkowo NP-zupełne.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolnym wielomianem, a problemem decyzyjnym. Oznaczając przez podproblem problemu otrzymany przez ograniczenie dziedziny do tych instancji, dla których:

gdzie:

oznacza największą liczbę występującą w opisie
rozmiar instancji

Można powiedzieć, że problem decyzyjny jest silnie NP-zupełny, jeśli jest NP i istnieje taki wielomian że jest NP-zupełny.

Z definicji tej od razu wynika, że jeśli jest NP-zupełny i nie jest problemem liczbowym, to jest silnie NP-zupełny.

Dowodzenie silnej NP-zupełności[edytuj | edytuj kod]

Dowodzenie silnej NP-zupełności bezpośrednio z definicji wymagałoby znalezienia wielomianu spełniającego warunki określone w definicji. Niejednokrotnie okazuje się to jednak niełatwe.

W przypadku problemów, które nie są problemami liczbowymi wystarczy jednak dowieść tylko ich NP-zupełności. Zaś w przypadku problemów liczbowych wykorzystuje się transformacje pseudowielomianowe do sprowadzenia pewnego znanego problemu silnie NP-zupełnego do danego problemu, którego silną NP-zupełność się dowodzi, podobnie jak wykorzystuje się transformacje wielomianowe przy dowodzeniu NP-zupełności.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Następujące problemy liczbowe są silnie NP-zupełne:

Następujące problemy niebędące problemami liczbowymi są silnie NP-zupełne:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]