Proste skośne

Proste skośne, proste wichrowate – proste, które się nie przecinają i jednocześnie nie są równoległe. Równoważnie – dwie proste są skośne, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie. Proste skośne występują w trzech lub więcej wymiarach.

Jeśli każda z dwóch prostych jest zadana za pomocą pary nieidentycznych punktów, to proste te są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy cztery definiujące je punkty nie są współpłaszczyznowe.

Odległość między dwiema prostymi skośnymi

Dwie proste skośne określone są przez dwie pary punktów $(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})$ i $(\mathbf {v} _{3},\mathbf {v} _{4}).$

Dowolne dwa punkty tych prostych mogą być zapisane jak wektor w postaci $t(\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1})-\mathbf {v} _{1}$ i $s(\mathbf {v} _{4}-\mathbf {v} _{3})-\mathbf {v} _{3}.$ Odległość między dwoma takimi punktami może być obliczona przy użyciu twierdzenia Pitagorasa do współrzędnych i przegrupowaniu wynikowego wielomianu z $s$ i $t$ jako

$As^{2}+2Bst+Ct^{2}+2Ds+2Et+F,$

gdzie:

$A=(v_{4}-v_{3})\cdot (v_{4}-v_{3}),\ \ B=(v_{4}-v_{3})\cdot (v_{1}-v_{2}),$

$C=(v_{1}-v_{2})\cdot (v_{1}-v_{2}),\ \ D=(v_{4}-v_{3})\cdot (v_{3}-v_{1}),$

$E=(v_{1}-v_{2})\cdot (v_{3}-v_{1}),\ \ F=(v_{3}-v_{1})\cdot (v_{3}-v_{1}).$

Szukając minimum tego wyrażenia, otrzymujemy najmniejszą odległość między dwoma prostymi jako

$d^{2}={\frac {ACF+2BDE-AE^{2}-CD^{2}-FB^{2}}{AC-B^{2}}}={\frac {\det R}{\det S}},$

gdzie $R={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{bmatrix}}$ i $S={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}.$

Wykorzystując Tożsamość Lagrange’a, można przepisać to do postaci:

$d={\frac {\left\|(v_{4}-v_{1})\wedge (v_{3}-v_{1})\wedge (v_{2}-v_{1})\right\|}{\left\|(v_{4}-v_{3})\wedge (v_{2}-v_{1})\right\|}},$

w której operator $\wedge$ oznacza iloczyn zewnętrzny wektorów.

Linki zewnętrzne

• Skew lines (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].