Równoległość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Two parallel lines a b.svg

Równoległość – w geometrii relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny[1], odcinki, półproste.

Aksjomaty[edytuj | edytuj kod]

Parallel lines.png
Aksjomat Euklidesa 
Jeżeli prosta (transwersalna) t przecina proste a, b tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste a, b przecinają się, co oznacza się a \nparallel b. Proste a, b, które są równoległe, opisuje się symbolem a \parallel b.

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira 
Przez dowolny punkt można przeprowadzić prostą równoległą do zadanej prostej.

Geometria euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Planes parallel.svg

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowejrównoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są do siebie równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ równoległość jest relacją równoważności, a więc jest

zwrotna: a \parallel a,
symetryczna: a \parallel b pociąga b \parallel a,
przechodnia: a \parallel b oraz b \parallel c, to a \parallel c,

Geometria analityczna[edytuj | edytuj kod]

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste w przestrzeni kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe odpowiadają układowi sprzecznemu (brak punktów wspólnych) lub zawsze spełnionemu (proste pokrywające się). Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases},

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = 0 \iff A_1B_2 = A_2B_1.

Odległość prostych równoległych[edytuj | edytuj kod]

Odległość prostych równoległych - odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.


Niech l || k. Wówczas l: Ax+By+C_1\, i k: Ax+By+C_2\,, gdy A_2+B_2>0\,. Odległość punktu O od prostej l wyraża się wzorem:

d=\frac{|Ax_0+By_0+C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}


Ponieważ O∈k Ax_0+By_0+C_2=0\,, więc Ax_0+By_0= - C_2\,.


Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:

d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}


Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej: l: y=mx+n_1\,, k: y=mx+n_2\,,

to wzór przybierze postać: d=\frac{|n_1-n_2|}{\sqrt{1+m^2}}

Geometrie nieeuklidesowe[edytuj | edytuj kod]

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

W geometrii rzutowej każde dwie proste mają co najmniej jeden punkt przecięcia. Te o których geometria euklidesowa mówi, iż są równoległe (mają wspólny kierunek), w tej geometrii przecinają się w tzw. punkcie w nieskończoności.

W geometrii eliptycznej również każde dwie proste mają punkt wspólny, toteż pojęcie równoległości nie istnieje.

Przypisy

  1. Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n-1-wymiarowe przestrzeni n-wymiarowej

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]