Równoległość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równoległość – relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny[1], odcinki, półproste.

Aksjomaty[edytuj]

Parallel lines.png
Aksjomat Euklidesa 
Jeżeli prosta (transwersalna) przecina proste tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste przecinają się.

O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się . Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się .

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira 
Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą.

O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometria euklidesowa[edytuj]

 Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Planes parallel.svg

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowejrównoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Własności[edytuj]

Równoległość jest relacją równoważności, tzn. jest

zwrotna: ,
symetryczna: pociąga ,
przechodnia: jeśli oraz , to ,

Geometria analityczna[edytuj]

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

,

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

.

Odległość prostych równoległych[edytuj]

Odległość prostych równoległych - odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.


Niech l || k. Wówczas i , gdy . Odległość punktu O od prostej l wyraża się wzorem:


Ponieważ O∈k , więc .


Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:


Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej: , ,

to wzór przybierze postać:

Geometrie nieeuklidesowe[edytuj]

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej - afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Przypisy

  1. Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n-1-wymiarowe przestrzeni n-wymiarowej

Zobacz też[edytuj]