Równoległość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równoległośćrelacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny[1], odcinki, półproste.

Aksjomaty[edytuj | edytuj kod]

Parallel lines.png
Aksjomat Euklidesa
Jeżeli prosta (transwersalna) przecina proste tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste przecinają się.

O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira
Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą.

O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometria euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Planes parallel.svg

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowejrównoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Równoległość jest relacją równoważności, tzn. jest

zwrotna:
symetryczna: pociąga
przechodnia: jeśli oraz to

Geometria analityczna[edytuj | edytuj kod]

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

Odległość prostych równoległych[edytuj | edytuj kod]

Odległość prostych równoległychodległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas i gdy Odległość punktu od prostej wyraża się wzorem:

Ponieważ to więc

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej:

to wzór przybierze postać:

Geometrie nieeuklidesowe[edytuj | edytuj kod]

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej -wymiarowe przestrzeni -wymiarowej.