Twierdzenie Pitagorasa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Animacja ilustrująca twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasatwierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych, równoważne w istocie jest piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, jednak odkrycia dokonali Babilończycy, którzy znali dodatkowo dwie prostsze metody, przy których błąd jest niewielki[1]. Zapewne znali je przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie[2]. Wiadomo[potrzebny przypis] też, że jeszcze przed nim znano je w starożytnych Chinach i Indiach.

Twierdzenie[edytuj]

Suma pól kwadratów „czerwonego” i „niebieskiego” jest równa polu kwadratu „fioletowego”.

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Dowody[edytuj]

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. Opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, a Friedrichs udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele[3].

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Układanka[edytuj]

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości i jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Dowód – układanka

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Przez podobieństwo[edytuj]

„Trójkąty podobne”

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: „duży” – , „różowy” – i „niebieski” – są podobne. Niech i . Można napisać proporcje:

,
.

Stąd:

i po dodaniu stronami:

.

Z przystawania[edytuj]

Jeden z dowodów Euklidesa

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta jest równe podwojonemu polu trójkąta – podstawą trójkąta jest bok prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi prostokąta. Jednak trójkąty i przystające, co wynika z cechy „bok-kąt-bok” – i kąt jest równy kątowi – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta .

Analogicznie, rozważając trójkąty i można udowodnić, że pole kwadratu jest równe polu prostokąta . Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu .

Dowód Garfielda[edytuj]

„Ilustracja dowodu Garfielda”

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód – układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej danego trójkąta prostokątnego odkładamy , a następnie na prostej równoległej do odkładamy . Trójkąt jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi ; pola trójkątów i są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie . Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez o polu . Stąd równości:

Twierdzenie odwrotne[edytuj]

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Kąt prosty w trójkącie egipskim

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby i takie, że , to istnieje trójkąt o bokach długości i a kąt między bokami o długości i jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości , i jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach i .

Dowód[edytuj]

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt o bokach odpowiednio:

spełniający warunek:

.

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt taki że:

oraz

Trójkąt jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok :

z trójkąta mamy:

zatem:

Okazało się, że:

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty i są przystające. Z faktu, iż trójkąt jest prostokątny wynika, że trójkąt jest prostokątny.

Uogólnienia[edytuj]

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Twierdzenie cosinusów[edytuj]

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów:

Jeśli w trójkącie o bokach długości i oznaczyć przez miarę kąta leżącego naprzeciw boku , to prawdziwa jest równość:
.

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach[edytuj]

Trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów zgrabnie sformułował Edsger Dijkstra:
Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości i znajdują się odpowiednio kąty , to zachodzi równość:

,

gdzie oznacza funkcję signum.

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową[edytuj]

Niech będzie przestrzenią euklidesową oraz . Jeśli , to

Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Uogólnienie na czworościany[edytuj]

Twierdzenie Pitagorasa można uogólnić na czworościan. Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a,b,c,d przez oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a,b,c,d, oraz ściany zbiegające się w wierzchołku a są parami prostopadłe, to zachodzi szczególny przypadek twierdzenia scosinusów dla czworościanów:

Twierdzenie Pitagorasa a świat rzeczywisty[edytuj]

Twierdzenie nie musi być prawdziwe dla trójkątów zdefiniowanych w geometrii nieeuklidesowej. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Friedrich Gauss, który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest spełnione, gdyż obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna. Z ogólnej teorii względności wynika, że w polach grawitacyjnych twierdzenie jest fałszywe, gdyż tam także obowiązuje zmodyfikowana geometria Riemanna. Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być nie spełnione w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali – problem krzywizny jest jednym z otwartych problemów.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. A.T.Olmstead, Dzieje imperium perskiego, PIW, Warszawa 1974, s. 31, 206.
  2. W piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary o stosunku 3, 4 i 5 (bok jednej ściany, przekątna drugiej i przekątna komnaty).
  3. Pythagorean Theorem and its many proofs. [dostęp 2016-11-11].

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]