Punkt Fermata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Konstrukcja punktu Fermata

Punkt Fermata (punkt Torricellego) to punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

Konstrukcja[edytuj]

W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż , punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej , łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

Dowód[edytuj]

Fermat Point Derivation.svg

Dla dowolnego punktu wewnątrz , gdy obrócimy wokół punktu zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt , to otrzymamy (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie jest punktem wewnątrz spełniającym

, oraz ,

więc jest równoboczny, czyli .

Stąd . Zatem wartość sumy najmniejsza, gdy punkty , , , są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie obracając i wokół odpowiednich punktów otrzymujemy, że punkt o minimalnej wartości sumy leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

Właściwości[edytuj]

Fermat Point Proof.svg
  • Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych zbudowanych na bokach danego trójkąta.
  • Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem .
  • Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

Dowód[edytuj]

Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy wokół punktu zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt , to otrzymamy . Stąd . Analogicznie .

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że , oraz . Stąd

.

Podobnie

Zatem , czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą . Stąd na czworokątach oraz można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na .

Zobacz też[edytuj]