Punkt równowagi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Inne znaczenia Ten artykuł dotyczy znaczenia w mechanice, robotyce i automatyce. Zobacz też: inne znaczenia.
Stabilny punkt równowagi.
Niestabilny punkt równowagi.

Punkt równowagi, stan równowagi – w mechanice oraz robotyce, stan układu nieliniowego, przy którym pozostaje on w bezruchu (tj. prędkość zmian stanu wynosi 0). Jako przykład podać można wahadło, które ma dwa punkty równowagi, dokładnie poniżej oraz powyżej punktu zaczepienia wahadła.

Punkt równowagi

x_e

spełnia warunek:

f(x_e,t)=0

dla każdego t – gdzie t to czas.

Punkty równowagi dzieli się na stabilne i niestabilne. Ponownie na przykładzie wahadła: punkt równowagi leżący powyżej punktu zaczepienia wahadła nie jest punktem stabilnym, ponieważ nawet niewielkie zaburzenie stanu układu spowoduje ruch wahadłowy i w efekcie przejście do drugiego punktu równowagi.

Stabilność punktu równowagi bada się za pomocą portretu fazowego oraz za pomocą metod Lapunowa, przy czym stabilność tę można określić jako:

zwykłą – gdy układ jedynie krąży w niewielkiej odległości (\epsilon) od punktu równowagi,
lub:
  • jednostajną – gdy dodatkowo \epsilon jest niezależny od czasu,
  • asymptotyczną – gdy dodatkowo x=x_e po nieskończenie długim czasie,
    • asympt. wykładniczą – asymptotyczną, dla której \epsilon=e^{-\alpha*t} (gdzie \alpha>0, a t to czas).