Wahadło

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Wahadło realne, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

  • matematyczne,
  • fizyczne.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione, gdy maksymalny kąt odchylenia wahadeł od pionu jest mniejszy niż 0,1 radiana (ok. 6°)[a]. Własność ta, zwana izochronizmem drgań wahadła, stanowi podstawę budowy zegarów wahadłowych, od czasu, gdy około 1602 Galileo Galilei zbadał izochronizm wahadła i użył go do pomiaru czasu. Metoda ta była najdokładniejszą metodą pomiaru aż do lat 30-ty XX wieku.

Opis matematyczny wahadeł jest w ogólności dość złożony i dlatego zwykle robi się założenia upraszczające. W przypadku wahadła matematycznego pozwala to rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny dla małych amplitud drgań.

Wahadło matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Wahadło matematyczne definiuje się jako punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Równanie ruchu wahadła dla dowolnych amplitud[edytuj | edytuj kod]

Przy tych założeniach równanie ruchu wahadła określa wzór:

{d^2\theta(t)\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta(t)=0

gdzie:

  • \theta(t) – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili t,
  • g – przyspieszenie ziemskie,
  • \ell – długość nici.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła:

Jeżeli punkt materialny podlega działaniu więzów, które ograniczają jego ruch do krzywej płaskiej, to najłatwiej jest analizować ruch nie w układzie współrzędnych kartezjańskich, ale w układzie współrzędnych zgodnych z więzami, tj. takim, że jeden z wersorów układu współrzędnych jest prostopadły do krzywej, a drugi styczny. Siła reakcji więzów jest prostopadła do krzywej (co się zakłada na podstawie doświadczeń), dlatego siła reakcji więzów nie musi być dana z góry do określenia ruchu punktu materialnego: zamiast niej wystarczy podanie związanych z jej występowaniem więzów[1][2].

W przypadku wahadła ruch ograniczony jest przez nić i warunki początkowe do ruchu po okręgu. Naturalnym układem współrzędnych jest wtedy układ biegunowy[3]. Do analizy ruchu wahadła wystarczy więc znaleźć siłę styczną do okręgu.

Na ciało zawieszone na nici działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości oraz siła napięcia nici działająca wzdłuż nici (będąca siłą reakcji więzów). Składowa styczna nadaje ciału przyspieszenie w ruchu po okręgu; składowa ta jest składową wyłącznie siły ciężkości; jej współrzędną określa wzór[4]

 F_s = - m g \sin \theta

przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła ta jest skierowana przeciwnie do wersora \hat\thetaprzyjętego układu współrzędnych biegunowych (wersor ten jest skierowany w kierunku rosnących katów \theta) . Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona siła ta nadaje ciału przyspieszenie styczne do okręgu[5]

 a_s = \frac{F_s}{m}= - g \sin \theta

Przyspieszenie styczne można wyrazić jako iloczyn przyspieszenia kątowego  \varepsilon = \frac{d^2 \theta}{dt^2}  i długości promienia \ell okręgu[6]

 a_s = \ell {d^2\theta\over dt^2}

Porównując oba wzory na  a_s otrzymuje się równanie ruchu, podane na początku.

Wyznaczenie siły reakcji więzów[edytuj | edytuj kod]

Składowa siły wypadkowej działającej na ciało prostopadła do okręgu jest siłą dośrodkową; siła ta wymusza ruch ciała po okręgu; jej współrzędną określa wzór[7]

 F_r = - \frac{m v}{\ell}^2

przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła działa w kierunku środka okręgu, przeciwnie do wersora \hat r układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta θ można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje[7].

 v^2=2g\ell (\text{cos}\,\theta-\text{cos}\,\theta_0)

gdzie \theta_0 - kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór[7]

 T(\theta)=F_r-mg \text{cos}\,\theta 
=-mg(3 \text{cos}\,\theta-2\text{cos}\,\theta_0)

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich, jak to jest w ujęciu mechaniki klasycznej podanym przez Newtona. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange'a.

Przybliżenie opisu drgań dla małej amplitudy[edytuj | edytuj kod]

Amplitudą drgań (amplitudą kątową) nazywa się kąt maksymalnego odchylenia wahadła od położenia równowagi. Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem gdy kąt jest odpowiednio mały (szereg Taylora)[b].

\sin \theta \approx \theta

i ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta(t) =0

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Z rozwiązania otrzymuje się zależność kąta wahań od czasu[8]

\theta(t) =\theta_0 \,\text{sin}(\omega t+\varphi)

gdzie:

  •  \theta_0 – amplituda drgań,
  • \omega =\sqrt{\frac{g }{\ell}} – częstość kołowa drgań,
  • \varphi – faza początkowa drgań (gdy w chwili t = 0 wychylenie wahadła wynosi zero, \theta(0) =0 , to \varphi=0 ).

Ponieważ okres drgań jest związany z częstością wzorem T =\frac{2\pi }{\omega}, to okres drgań wynosi[4]

T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

Wynika stąd, że w przybliżeniu małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam \sqrt 6 razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie[edytuj | edytuj kod]

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od θo opisuje wzór[9]

\begin{alignat}{2}
T(\theta_0) = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot\!\! \sum_{n=0}^\infty \left[
\!\!
 \left (\! \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2}\!\! \right )^2\!\!\! \cdot \sin^{2n}\!\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right]
\end{alignat}
=\! 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego[10]. Wzór na okres drgań można wyrazić też w postaci

T = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów[edytuj | edytuj kod]

Związki geometryczne dla wahadła matematycznego.

Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii. Jeżeli ciało porusza się w dół od stanu spoczynku, to nabywa energię kinetyczną kosztem utraty energii potencjalnej grawitacji. Jeżeli nie ma strat energii, to powyższe dwie wielkości są sobie równe, czyli[11]

{1\over2}mv^2 = mgh

Stąd prędkość wahadła wynosi:

v = \sqrt{2gh}\,

Ponieważ v = {\ell}{d\theta\over dt} , to z powyższych wzorów otrzymuje się prędkość kątową wahadła

{d\theta\over dt} = {1\over \ell}\sqrt{2gh}

Wysokość na jakiej znajduje się wahadło:

y = \ell\cos\theta_0\,

Zmiana wysokości jest różnicą wysokości dwóch położeń, to

h = \ell\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)

ostatecznie otrzymuje się[11]

{d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}

albo

dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over \sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0} }}

Okres wahań T otrzymuje się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do θo i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach)[12]:

T =4 \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta_0}{{d\theta\over \sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}}

Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci Lagendre'a, której wartości są stablicowane, wyraża się θ w zależności od u, dokonując przekształceń, oraz podstawienia \sin{u} = \frac{\sin{\theta\over 2}}{\sin{\theta_0\over 2}}, prowadzi do wzoru na okres drgań wahadła[12][13]

T = 4\sqrt{\ell\over g}\, \text{K}\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju zdefiniowaną jako

\text{K}(k) = F \left( {\pi\over 2}, k \right) = \int_0^{\pi/2} {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{u}}}\,du

gdzie:

k= \sin{\theta_0\over 2}

Całkę tę można rozwinąć w szereg[12]

\begin{alignat}{2}
\text{K}(k) = \frac{\pi}{2} \Bigg\{ 1+ \sum_{n=1}^\infty \left[\left(\! \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2}\! \right)^2\! \cdot k^{2n} \right]\Bigg\}
\end{alignat}

co prowadzi do wzoru na okres drgań wrażony przez szereg, podany wyżej.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła z zasady zachowania energii[edytuj | edytuj kod]

Zostanie tutaj wyprowadzone równanie ruchu wahadła w oparciu o zasadę zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna wahadła jest zachowana, gdyż zakłada się tutaj, że na układ działają jedynie siły zachowawcze, a pomija się opory ruchu. W ogólności zachowanie energii mechanicznej pozwala na wyprowadzenie równania ruchu dowolnego układu bez potrzeby odwoływania się do konkretnej postaci działających sił, co zazwyczaj prowadzi do prostszych obliczeń.

Różniczkując względem czasu wyprowadzone wyżej równanie {d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} (z użyciem reguły łańcuchowej) otrzyma się przyspieszenie kątowe

{d\over dt}{d\theta\over dt} = {d\over dt}\sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}

czyli


\begin{align}
{d^2\theta\over dt^2} & = {1\over 2}{-(2g/\ell) \sin\theta\over\sqrt{(2g/\ell) \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}}{d\theta\over dt} \\
& = {1\over 2}{-(2g/\ell) \sin\theta\over\sqrt{(2g/\ell) \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}}\sqrt{{2g\over \ell} \left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} = -{g\over \ell}\sin\theta
\end{align}

Stąd:

{d^2\theta\over dt^2} + {g\over \ell}\sin\theta = 0,

co jest tym samym równaniem które zostało wyprowadzone wcześniej z analizy sił.


Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe[edytuj | edytuj kod]

a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

Rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnego można podać rozwiązanie w postaci uwikłanej[14]:

dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do θ przy stałym kącie θ0 otrzymuje się

t(\theta) = \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia, jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła[14]. Całkowita energia określa punkty zwrotne ruchu wahadła (kąty maksymalnego odchylenia). Jeżeli energia jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej E_{min}=2 m g h (zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia są krzywymi zamkniętymi. Dla energii równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu. W ogólności płaszczyzna fazowa odgrywa ważną rolę przy rozwiązywaniu nieliniowych równań różniczkowych[12].

Poniżej zestawiono animacje pokazujące różne sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego. Mody te zależą od warunków początkowych ruchu. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

Wahadło w stanie nieważkości[edytuj | edytuj kod]

W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby na nie nie działała siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu[15].

Ruch podwójnego wahadła matematycznego.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia[4]:

  • Rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu do długości nici.
  • Nić jest nieważka.
  • Nić jest nierozciągliwa.
  • Wahadłu nadano takie, że wykonuje drgania po okręgu w płaszczyźnie pionowej (a nie ruch po elipsie w płaszczyźnie poziomej).
  • Na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej)[4].

W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:

  • wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny, a odbywa się po elipsie,
  • wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
  • wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
  • wahadło z rozciągliwą nicią,
  • wahadło cykloidalne - wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań[16][17]

Wahadło fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Bryła ta może wykonywać obroty dookoła tej osi. Okres drgań wahadła fizycznego dla małych drgań określa wzór[18]:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

gdzie:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

 T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell_0}{g}}

gdzie  \ell_0 = \frac{I}{md} - tzw. długość zredukowana wahadła.

Dla dowolnych amplitud \theta_0 okres drgań wyraża się wzorem identycznym jak dla wahadła matematycznego o długości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego[18]

T(\theta_0)=\! 2\pi \sqrt{\ell_0\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

Wahadło Foucaulta[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Wahadło Foucaulta.
Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.
Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. Niebieska linia - trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. Zielona linia - rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta[19].

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór[19]:

T= \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}

gdzie \varphiszerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej, na biegunach okres ten wynosi 24 h.

Drgania tłumione i wymuszone wahadła[edytuj | edytuj kod]

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch[20].

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa się na nie siłą wymuszającą ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów wahadłowych. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por.Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony)[21].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

przyrządy będące wahadłami
wahadła

Uwagi

  1. Dla amplitudy wahań równej 6° okres drgań wydłuża się o 0,07% w stosunku do okresu drgań przy bardzo małym wychyleniu, co jest znacznie poniżej możliwości eksperymentalnego zmierzenia w typowych układach eksperymentalnych.
  2. Wielkość maksymalna kąta, dopuszczalna w tym przybliżeniu, zależy od założonej dopuszczalnej różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.

Przypisy

  1. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 97.
  2. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 229.
  3. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 16.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 91.
  5. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 35.
  6. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 15-18.
  7. 7,0 7,1 7,2 A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 340-342.
  8. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 44.
  9. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 97.
  10. Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy (ang.).
  11. 11,0 11,1 A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 340-343.
  12. 12,0 12,1 12,2 12,3 C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: PWN, 1993, s. 256-257.
  13. Elliptic Integral of the First Kind. Wolfram Research, Inc. [dostęp 2015-04-25].
  14. 14,0 14,1 L. D. Landau, E. M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011, s. 41-46.
  15. Andrzej Kajetan Wróblewski: Wstęp do fizyki. T. I. Warszawa: PWN, 1984, s. 371.
  16. Alan Emmerson: THINGS ARE SELDOM WH AT THEY SEEM - CHRISTIAAN HUYGENS, THE PENDULUM AND TH E CYCLOID. [dostęp 2015-04-25].
  17. Tautochrone Problem. Wolfram Research, Inc. [dostęp 2015-04-25].
  18. 18,0 18,1 W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 327 328.
  19. 19,0 19,1 A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976, s. 171-172.
  20. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 64,72.
  21. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012, s. 47-58.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. M. Jeżewski, Fizyka, PWN, Warszawa 1966.
  2. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, Mechanika|, PWN, Warszawa 1993.
  3. W. Królikowski, W. RubinowiczMechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  4. L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.
  5. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1, PWN, Warszawa 1980, ISBN 830100987X.
  6. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki. T. 1, PWN, Warszawa 1976.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  1. S. Banach, Mechanika, Część I. Monografie Matematyczne 8, Warszawa-Lwów-Wilno 1938, str. V+234
  2. Ćwiczenie Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego – w ramach zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach
  3. Wahadło fizyczne (ang.)