Wahadło

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Wahadło rzeczywiste, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł[1]:

  • matematyczne (proste),
  • fizyczne.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione dla małych wychyleń[a]. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy[2]. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

W ogólności wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależy od amplitudy. Opis matematyczny rozwiązań równania ruchu wahadła jest w ogólności dość złożony, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małych amplitud drgań pozwalają rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny.

Wahadło matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym[1]. Równanie ruchu wahadła określa wzór[1]:

{d^2\theta(t)\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta(t)=0

gdzie:

  • \theta(t) – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili t,
  • g – przyspieszenie ziemskie,
  • \ell – długość nici.

Drgania dla małej amplitudy[edytuj | edytuj kod]

Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, gdy kąt jest odpowiednio mały (wzór Taylora)[b][1]:

\sin \theta \approx \theta

wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta(t) =0

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem[3]:

\theta(t) =\theta_0 \,\text{sin}(\omega t+\varphi)

gdzie:

  • \theta_0 – amplituda drgań,
  • \omega =\sqrt{\frac{g }{\ell}} – częstość kołowa drgań,
  • \varphi – faza początkowa drgań.

Okres drgań jest związany z częstością wzorem

T =\frac{2\pi }{\omega}

okres drgań wynosi[4]

T=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

Wynika stąd, że w przybliżeniu małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam \sqrt 6 razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie[edytuj | edytuj kod]

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θo.

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór[5]:

T = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\theta_0\over 2} \right)

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

Jego rozwinięciem jest wzór:

\begin{alignat}{2}
T(\theta_0) = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot\!\! \sum_{n=0}^\infty \left[\left(
                                      \! \frac{(2n)!}{( 2^n \cdot n!)^2}\right)^2\!\!\! \cdot \sin^{2n}\!\!\left(\frac{\theta_0}{2}
\right) \right]
\end{alignat}
=\! 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1\!+ \!\left( \frac{1}{2} \right)^2\!\! \sin^2\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \!+ \! \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2\!\! \sin^4\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\! + \cdots \!\!\right)

Rozwijając w szereg Maclaurina[6]:

 T = 2\pi \sqrt {\frac l g} \left( 1 + \frac {1} {16} \theta_0^2  + \frac {11} {3072} \theta_0^4  + \frac {173} {737280} \theta_0^6  + \frac {22931} {1321205760} \theta_0^8 + ...\right)

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego[7].

Przybliżona zależność okresu od amplitudy[edytuj | edytuj kod]

Zależność kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, a różniących się amplitudą 0,25π(45°) i 0,99π(178°).
Konstrukcja wahadła cykloidalnego o okresie niezależnym od amplitudy.

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać: [11]

\frac {d^2 \theta} {dt^2} + \frac g l \left( \theta - \frac 1 6 \theta^3 \right) = 0

Przyjmując poniższe oznaczenia, przybliżonym rozwiązaniem jest:

 \theta (t) = \theta_0 \cos \omega t + \epsilon \cos (3\omega t)
 \theta_0 = \cos (\omega_0 t + \phi)
 \omega_0 = \sqrt {\frac g l}
 \omega = \omega_0\left(1 - \frac {\theta^2_0} {16} \right)
 \epsilon = \frac {1} {3} \left( \frac {\theta_0} {4}\right)^3

Przybliżenie to wskazuje, że wahadło nie jest oscylatorem harmonicznym, a jego trzecia harmoniczna jest zależna w trzeciej potędze od amplitudy drgań.

Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy[edytuj | edytuj kod]

Ruch ciał po tautochronie.

Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań zajmował się Christiaan Huygens, wykazał że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem, wykazał, że krzywą zmniejszającą długość wahadła jest cykloida o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła, jest ono wahadłem cykloidalnym. Skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy[12].

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą[13]

Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe[edytuj | edytuj kod]

a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej[14]:

dt = \sqrt{{\ell \over 2g }}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do θ przy stałym kącie θ0 otrzymuje się

t(\theta) = \sqrt{{\ell \over 2g }}\int_0^{\theta}{{d\theta\over(\cos\theta-\cos\theta_0)}}

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia, jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła[14]. Całkowita energia określa punkty zwrotne ruchu wahadła (kąty maksymalnego odchylenia). Jeżeli energia jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej E_{min}=2 m g h (zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia są krzywymi zamkniętymi. Dla energii równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu[9].

Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

Wyżej podano dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy, ale w postaci uwikłanej. Podanie zależności kąta wychylenia w postaci analitycznej sprawia już problem. Okresową funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora[15]:

 \theta(t) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \sin(n\omega t) + b_n \cos (n\omega t))

Dla wahadła symetrycznego ruszającego z maksymalnego wychylenia gdy czas równa się zero, wychylenie jest symetryczną funkcją czasu θ(t) = &theta(-t), dlatego współczynniki przed funkcją sinus są równe zero.

 \theta(t) = \sum_{n=0}^\infty b_n \cos (n\omega t)

Można także wykazać, że parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero.


Wahadło w stanie nieważkości[edytuj | edytuj kod]

W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby na nie nie działała siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu[16].

Reakcja więzów[edytuj | edytuj kod]

Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez więzy do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór[17]

F_r = - \frac{m v}{\ell}^2

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta θ można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje[17].

v^2=2g\ell (\text{cos}\,\theta-\text{cos}\,\theta_0)

gdzie \theta_0 – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór[17]

T(\theta)=F_r-mg \text{cos}\,\theta =-mg(3 \text{cos}\,\theta-2\text{cos}\,\theta_0)

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.

Ruch podwójnego wahadła matematycznego.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia[4]:

  • Rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu do długości nici.
  • Nić jest nieważka.
  • Nić jest nierozciągliwa.
  • Wahadłu nadano takie, że wykonuje drgania po okręgu w płaszczyźnie pionowej (a nie ruch po elipsie w płaszczyźnie poziomej).
  • Na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej)[4].

W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:

  • wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny, a odbywa się po elipsie,
  • wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
  • wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
  • wahadło z rozciągliwą nicią,
  • wahadło cykloidalne – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań[12][18]

Wahadło fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Bryła ta może wykonywać obroty dookoła tej osi. Wahadło rozważa się jako ruch obrotowy bryły sztywnej. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły[1]:

M = m g d \sin \theta

Równanie ruchu wahadła można wyrazić wzorem:

\frac {d^2\theta(t)} {dt^2} + \frac {mgd} {I} \sin \theta(t)=0

Porównując to równanie z równaniem ruchu wahadła matematycznego, wprowadza się długość zredukowaną wahadła fizycznego

\ell_f = \frac{I}{md}

Wówczas równanie ruchu wahadła fizycznego ma identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego, co oznacza że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań zapisuje się jako[1]:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell_f}{g}}

Rozważając wahadło matematyczne, czyli masę punktową zawieszoną na nieważkiej nici jako bryłę sztywną:

I = m \ell^2
d = \ell

Po podstawieniu tych wielkości do równań wahadła fizycznego otrzymuje się równania ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wahadło matematyczne może być uważane jako szczególny przypadek wahadła fizycznego[1].

Gdzie:

Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego[1]. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego oraz jako przyrządu dydaktycznego jest wahadło rewersyjne.

Wahadło Foucaulta[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Wahadło Foucaulta.
Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.
Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. Niebieska linia – trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. Zielona linia – rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta[19].

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór[19]:

T= \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}

gdzie \varphiszerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Na biegunach okres ten wynosi 24 h.

Drgania tłumione i wymuszone wahadła[edytuj | edytuj kod]

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch[20].

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa się na nie siłą wymuszającą ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów wahadłowych. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony)[21].

Historia[edytuj | edytuj kod]

  • XVII w. – Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu[22].
  • 1644 – Marin Mersenne wyznacza długość wahadła sekundowego (o okresie 1/2 sekundy),
  • 1657 – Huygens przedstawia i patentuje zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się.
  • 1673 – Huygens przedstawia teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego.
  • 1687 – Isaac Newton w pracy Principia zauważa, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego.
  • 1737 – Pierre Bouguer wykonuje pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważa, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego. Używając wahadeł, porównuje gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów.
  • od 1735 – Charles Marie de La Condamine prowadzi eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiar przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach.
  • 1792 – we Francji, długość wahadła sekundowego jest proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar.
  • około 1792 – Borda i Cassini eliminują wpływ zawieszenia, prądów powietrza, wilgotności oraz temperatury, dokonują pomiaru długości wahadła sekundowego z dokładnością do 5 cyfr znaczących.
  • 1825/27 – Bessel doskonali układ pomiarowy oraz wprowadza układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła.
  • 1817 – Henry Kater konstruuje wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego.
  • 1827-1840 – Francis Baily konstruuje różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

przyrządy będące wahadłami
wahadła
Inne

Uwagi

  1. Dla amplitudy wahań równej 6° okres drgań wydłuża się o 0,07% w stosunku do okresu drgań przy bardzo małym wychyleniu.
  2. Wielkość maksymalna kąta, dopuszczalna w tym przybliżeniu, zależy od założonej dopuszczalnej różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 361–364.
  2. Huygens’ Clocks. [dostęp 2015-05-01].
  3. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 44.
  4. 4,0 4,1 4,2 Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 91.
  5. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 97.
  6. Gaetan Kerschen, Douglas Adams, Alex Carrella: Topics in Nonlinear Dynamics, Volume 1. T. 1: Proceedings of the 31st IMAC, A Conference and Exposition on Structural Dynamics. ISBN 9781461465706.
  7. Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy (ang.).
  8. 8,0 8,1 Wróblewski i Zakrzewski 1976 ↓, s. 340–343.
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 Kittel, Knight i Ruderman 1993 ↓, s. 256–257.
  10. Elliptic Integral of the First Kind. Wolfram Research, Inc. [dostęp 2015-04-25].
  11. Oscillations and Fourier Analysis. [dostęp 2015-05-09].
  12. 12,0 12,1 Alan Emmerson: Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid. [dostęp 2015-04-25].
  13. Marek Kordos: Pierwszy nowoczesny zegarmistrz. [dostęp 2015-05-10].
  14. 14,0 14,1 Landau i Lifszyc 2011 ↓, s. 41–46.
  15. Tai L. Chow: Classical Mechanics, Second Edition. CRC Press, 2013, s. 280 - 286. ISBN 9781466569980.
  16. Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 371.
  17. 17,0 17,1 17,2 Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 340–342.
  18. Tautochrone Problem. Wolfram Research, Inc. [dostęp 2015-04-25].
  19. 19,0 19,1 Wróblewski i Zakrzewski 1976 ↓, s. 171–172.
  20. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 64, 72.
  21. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 47–58.
  22. Victor F. Lenzen, Robert P. Multhauf. Development of Gravity Pendulums in the 19th Century. „On Science and Technology”. papers 34-44. On Science and Technology, Smithsonian Institution. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]