Metody Lapunowa

Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga – nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. W późniejszym czasie stworzono także inne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie do stabilności układów nieliniowych, wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania tych funkcji. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często używa się metody prób i błędów, doświadczenia, intuicji. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi $x_{e}$ układu:

${\frac {dx}{dt}}=f(x).$

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu $x_{e}$ rozwijając funkcję $f(x)$ w szereg Taylora:

${\frac {dx}{dt}}=f(x_{e})+{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e})(x-x_{e})+O((x-x_{e})^{2}),$

gdzie:

pochodna cząstkowa ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e})$ jest oznaczona jako $A,$

$O$ to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

${\frac {d\xi }{dt}}=A\xi$

na podstawie którego można wnioskować o zachowaniu układu $f(x).$ Jeśli punkt równowagi $\xi _{e}$ jest asymptotycznie stabilny to $x_{e}$ jest asymptotycznie stabilny. Jeśli $\xi _{e}$ jest niestabilny to $x_{e}$ jest niestabilny. Zwykła stabilność $\xi _{e}$ nie pociąga za sobą stabilności $x_{e}.$

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji $V(x)$ takiej, że:

1. $V(x_{e})=0,$
2. $V(x)>0$ dla każdego $x\neq x_{e},$
3. ${\dot {V}}(x)\leqslant 0.$

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla $x\neq x_{e}$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci $\langle \mathrm {grad} \,V(x),f(x)\rangle \leqslant 0$ odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi $x_{e}$ układu:

${\frac {dx}{dt}}=f(x,t).$

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu $x_{e}$

${\frac {dx}{dt}}=f(x_{e},t)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e},t)(x-x_{e})+hot(x,t),$

gdzie pochodna cząstkowa ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e},t)$ jest oznaczona jako $A(t).$

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

${\frac {dZ}{dt}}=A(t)Z(t).$

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji $V(x,t)$ takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po $x$ i $t,$

$V(x_{e},t)=0$ dla każdego $t,$

$V(x,t)>0$ dla każdego $x\neq x_{e},$

${\dot {V}}(x,t)\leqslant 0.$

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla $x\neq x_{e}$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji $\phi _{1},\phi _{2}$ to $x_{e}$ jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.