Metody Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp[edytuj]

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga – nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. W późniejszym czasie stworzono także inne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo, że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie stabilności układów nieliniowych, wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania tych funkcji. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często używa się metody prób i błędów, doświadczenia, intuicji. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)[edytuj]

Pierwsza metoda[edytuj]

Dany jest punkt równowagi układu:

.

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu rozwijając funkcję w szereg Taylora:

,

gdzie:

pochodna cząstkowa jest oznaczona jako ,
to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

na podstawie którego można wnioskować o zachowaniu układu . Jeśli punkt równowagi jest asymptotycznie stabilny to jest asymptotycznie stabilny. Jeśli jest niestabilny to jest niestabilny. Zwykła stabilność nie pociąga za sobą stabilności .

Druga metoda[edytuj]

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji takiej, że:

  1. ,
  2. dla każdego ,
  3. .

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)[edytuj]

Pierwsza metoda[edytuj]

Dany jest punkt równowagi układu:

.

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu .

,

gdzie pochodna cząstkowa jest oznaczona jako .

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

.

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda[edytuj]

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po i ,
dla każdego ,
dla każdego ,
.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji to jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.