Równanie charakterystyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie charakterystyczne – termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania.

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe, rzędu n-tego:

a_n x^{(n)}+a_{(n-1)} x^{(n-1)}+...+a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0,

w którym x^{(n)} oznacza n-tą pochodną zmiennej t. Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci e^{rt}\,, to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania otrzymuje się równanie ze współczynnikiem r:

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots+a_1r+a_0=0,

które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian

W(r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots+a_1r+a_0

nazywa się wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Podobnie w teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

G(s)=\frac{b_ns^m+\ldots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0}

to równanie charakterystyczne[1]układu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0=0

Przypisy

  1. Andrzej Markowski: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1979, s. 30-31.