Równanie trygonometryczne

Równanie trygonometryczne – równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej.

Elementarnym równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym po lewej stronie znaku równości występuje pojedyncza funkcja trygonometryczna, a po prawej stronie wyraz wolny.

Elementarne równania trygonometryczne to:

$\sin \ x=a,$

$\cos \ x=a,$

$\operatorname {tg} \ x=a,$

$\operatorname {ctg} \ x=a,$

gdzie:

$a$ – ustalona liczba rzeczywista.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych:

1. $\sin \ x=a$

• dla $|a|>1$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla $|a|\leqslant 1,$

$x=x_{0}+2k{\pi }\vee x={\pi }-x_{0}+2k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $\left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right],$

$k\in C.$

2. $\cos \ x=a$

• dla $|a|>1$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla $|a|\leqslant 1,$

$x=x_{0}+2k{\pi }\vee x=-x_{0}+2k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $[0;{\pi }],$

$k\in C.$

3. $\operatorname {tg} \ x=a$

• dla $a\in R$

$x=x_{0}+k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $\left(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right),$

$k\in C.$

4. $\operatorname {ctg} \ x=a$

• dla $a\in R$

$x=x_{0}+k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $(0;{\pi }),$

$k\in C.$

W przypadku bardziej złożonego równania trygonometrycznego należy ujednolicić wszystkie funkcje trygonometryczne i ich argumenty, a następnie sprowadzić równanie do postaci elementarnej.

Zobacz też

• funkcje trygonometryczne
• tożsamości trygonometryczne

Bibliografia

• Encyklopedia matematyka, A. Nawrot (red.), Sabak, Kraków 2009.