Tożsamości trygonometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Tożsamości pitagorejskie[edytuj]

 Osobny artykuł: jedynka trygonometryczna.

Wzór

,

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa. Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

Okresowość funkcji[edytuj]

Funkcje trygonometryczne są okresowe :

Definicje tangensa i cotangensa[edytuj]

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus[edytuj]

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus[edytuj]

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami[edytuj]

Równości

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności[edytuj]

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

Funkcje sumy i różnicy kątów[edytuj]

Dowód[edytuj]

Na mocy wzoru Eulera: oraz ; wymnożenie obu równości stronami daje: Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera: . Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić i przez i .

Funkcje wielokrotności kątów[edytuj]

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie we wzorach na funkcje sumy kątów.

Ogólnie:

Funkcje kąta połówkowego[edytuj]

Suma i różnica funkcji[edytuj]

Iloczyn w postaci sumy[edytuj]

Potęgi w postaci sumy[edytuj]

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta[edytuj]

,

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu , gdzie jest funkcją wymierną zmiennych . Stosuje się podstawienie:

.

Wzory Eulera[edytuj]

 Osobny artykuł: Wzór Eulera.

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi[edytuj]

Wzór de Moivre’a

lub ogólniej:

Zobacz też[edytuj]