|
|
Linia 38: |
Linia 38: |
|
|
|
|
|
==Linki zewnętrzne== |
|
==Linki zewnętrzne== |
|
* [http://www.gwo.pl/parts/home/index.php?menu=114&main=1269 przykłady zastosowań] (plik [[Portable Document Format|PDF]]) |
|
|
* [http://www.zadania.info/d1/23362 Wzory Viète'a w zadaniach szkolnych] |
|
* [http://www.zadania.info/d1/23362 Wzory Viète'a w zadaniach szkolnych] |
|
|
|
|
Wzory Viète'a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète'a.
Wzory Viète'a
Niech będą pierwiastkami wielomianu o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory
nazywane wzorami Viète'a.
Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim pierwiastków.
Trójmian kwadratowy
W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych wzory te przyjmują postać:
- .
Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego przy założeniu, że interesują nas zespolone pierwiastki trójmianu.
Dowód
Przypadek funkcji kwadratowej
Niech będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej . Wówczas
Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:
a stąd wzory wspomniane wyżej.
Przypadek ogólny
Aby udowodnić wzory Viète'a, piszemy równość
(która jest prawdziwa, gdyż są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy
czyli
Zobacz też
Linki zewnętrzne