Funkcja kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja kwadratowafunkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci

gdzie są pewnymi stałymi, przy czym (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian[a] (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Przykłady i zastosowania[edytuj]

  • Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
  • Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
  • Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
  • Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

Postacie[edytuj]

O funkcji kwadratowej danej wzorem

gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

gdzie , zaś . Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu. Wyrażenie

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej . Ponieważ

o ile tylko wyróżnik jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych:

.

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli , to

,

gdzie jest jednostką urojoną.

Miejsca zerowe[edytuj]

 Zobacz też: miejsce zerowewzory Viète’a.
  • Oznaczając wyżej
       oraz  
otrzymuje się wzór
,
gdzie są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla .
  • Jeżeli , to i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem
    .
  • Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy . Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia , są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

Wykres[edytuj]

Funkcja kwadratowa dla różnych wartości współczynników
 Zobacz też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt , gdzie są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią układu. W szczególności , co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

  • daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi , jeżeli , to są one skierowane przeciwnie
  • zwiększanie sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”
  • zmiana powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem , jeżeli , lub przeciwnie do niego, jeżeli
  • parametr odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż zgodnie z jej zwrotem, gdy , lub przeciwnie do niego, gdy .

Własności i przebieg zmienności[edytuj]

Niżej zakłada się, iż :

dla
  • ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla i maksimum dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
  • wypukłość: wypukła dla i wklęsła dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
  • parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla , nigdy nieparzysta
  • okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

Konforemność[edytuj]

Funkcja kwadratowa , gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) . Siatka izometryczna składa się z dwóch rodzin hiperbol:

Punktami stałymi tego odwzorowania są oraz [1].

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.

Przypisy

  1. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

Bibliografia[edytuj]

  • Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.