Funkcja kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja kwadratowafunkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci

gdzie są pewnymi stałymi, przy czym (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do funkcji liniowej). Funkcja kwadratowa jest wyznaczona przez pewien wielomian drugiego stopnia[a], dlatego nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach, jednak funkcje te można definiować w dowolnym ciele.

Postacie funkcji kwadratowej[edytuj | edytuj kod]

Postać ogólna (wielomianowa)[edytuj | edytuj kod]

Jest to postać podana w definicji we wstępie[1]

gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i [1].

Postać kanoniczna[edytuj | edytuj kod]

gdzie:

[1]

Wyrażenie nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej

Postać kanoniczną można wyprowadzić z postaci ogólnej:

Postać kanoniczna ułatwia kreślenie wykresu.

Postać iloczynowa[edytuj | edytuj kod]

Przedstawienie takie jest możliwe, o ile tylko wyróżnik jest nieujemny[1] (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek). W dziedzinie zespolonej jest zawsze możliwe – jeżeli to

gdzie jest jednostką urojoną.

Postać iloczynową można wyprowadzić z postaci kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów:

Postać iloczynowa ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (o ile istnieją).

Miejsca zerowe[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: miejsce zerowewzory Viète’a.
Oznaczając
oraz
można postać iloczynową zapisać
gdzie są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej[1],
wówczas [1] i postać iloczynowa ma postać:
Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe[1] (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu wyznaczającego funkcję; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne)
Funkcja kwadratowa nie ma postaci iloczynowej i nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych[1].

W liczbach zespolonych istnieją zawsze dwa rozwiązania (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), że

Wykres[edytuj | edytuj kod]

Funkcja kwadratowa dla różnych wartości współczynników
 Zobacz też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę[1]. Jej wierzchołkiem jest punkt gdzie są dane jw.[1], który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią układu. W szczególności co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:

  • daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi jeżeli to są one skierowane przeciwnie[1],
  • zwiększanie sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
  • zmiana powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem jeżeli lub przeciwnie do niego, jeżeli
  • parametr odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż zgodnie z jej zwrotem, gdy lub przeciwnie do niego, gdy

Każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem względem paraboli będącej wykresem jest równa

Własności i przebieg zmienności[edytuj | edytuj kod]

Niżej zakłada się, iż

dla
  • ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla i maksimum dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
  • wypukłość: wypukła dla i wklęsła dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
  • parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla nigdy nieparzysta,
  • okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

Konforemność[edytuj | edytuj kod]

Funkcja kwadratowa gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) Siatka izometryczna składa się z dwóch rodzin hiperbol:

Punktami stałymi tego odwzorowania są oraz [2].

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
  • Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
  • Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
  • Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f g h i j k Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 4, ISBN 978-83-940902-1-0.
  2. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.