Funkcja kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja kwadratowafunkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci

gdzie są pewnymi stałymi, przy czym (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian[a] (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
  • Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
  • Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
  • Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

Postacie[edytuj | edytuj kod]

O funkcji kwadratowej danej wzorem

gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

gdzie , zaś . Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu. Wyrażenie

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej .

Ponieważ

o ile tylko wyróżnik jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych:

.

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli , to

,

gdzie jest jednostką urojoną.

Miejsca zerowe[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: miejsce zerowewzory Viète’a.
  • Oznaczając wyżej
       oraz  
otrzymuje się wzór
,
gdzie są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla .
  • Jeżeli , to i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem
    .
  • Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy . Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia , są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

Wykres[edytuj | edytuj kod]

Funkcja kwadratowa dla różnych wartości współczynników
 Zobacz też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt , gdzie są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią układu. W szczególności , co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

  • daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi , jeżeli , to są one skierowane przeciwnie
  • zwiększanie sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”
  • zmiana powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem , jeżeli , lub przeciwnie do niego, jeżeli
  • parametr odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż zgodnie z jej zwrotem, gdy , lub przeciwnie do niego, gdy .

Własności i przebieg zmienności[edytuj | edytuj kod]

Niżej zakłada się, iż :

dla
  • ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla i maksimum dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
  • wypukłość: wypukła dla i wklęsła dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
  • parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla , nigdy nieparzysta
  • okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

Konforemność[edytuj | edytuj kod]

Funkcja kwadratowa , gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) . Siatka izometryczna składa się z dwóch rodzin hiperbol:

Punktami stałymi tego odwzorowania są oraz [1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.