Geometria rzutowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Po co to P?; Zmieniam zwodnicze określenie na mniej zwodnicze |
To jest prawda dla przestrzeni rzutowej dowolnego wymiaru, ale nieprawda, że każde przekształcenie. Każde wzajemnie jednoznaczne! |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Geometria rzutowa''' to dział [[matematyka|matematyki]] zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy [[przekształcenie rzutowe|przekształceniach rzutowych]]. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: [[prosta]], [[płaszczyzna]] oraz [[dwustosunek]] czwórki [[punkt (geometria)|punkt]]ów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk [[Jean-Victor Poncelet]], który jej podstawy podał w [[1822]]. |
'''Geometria rzutowa''' to dział [[matematyka|matematyki]] zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy [[przekształcenie rzutowe|przekształceniach rzutowych]]. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: [[prosta]], [[płaszczyzna]] oraz [[dwustosunek]] czwórki [[punkt (geometria)|punkt]]ów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk [[Jean-Victor Poncelet]], który jej podstawy podał w [[1822]]. |
||
Przekształceniem rzutowym jest każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie przestrzeni rzutowej wymiaru powyżej 1 zachowujące współliniowość punktów. |
|||
'''Punktem w nieskończoności''' ('''punktem niewłaściwym''', '''punktem nieskończenie dalekim'''<ref>[[David Hilbert]] i [[Stefan Cohn-Vossen]], ''Geometria poglądowa'', Warszawa, 1956, '''rozdział III: ''Konfiguracje'''''</ref>) jest nazywany punkt przecięcia wszystkich prostych o danym [[kierunek|kierunku]], czyli punkt przecięcia wszystkich prostych równoległych. |
'''Punktem w nieskończoności''' ('''punktem niewłaściwym''', '''punktem nieskończenie dalekim'''<ref>[[David Hilbert]] i [[Stefan Cohn-Vossen]], ''Geometria poglądowa'', Warszawa, 1956, '''rozdział III: ''Konfiguracje'''''</ref>) jest nazywany punkt przecięcia wszystkich prostych o danym [[kierunek|kierunku]], czyli punkt przecięcia wszystkich prostych równoległych. |
||
Wersja z 13:56, 7 paź 2015
Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.
Przekształceniem rzutowym jest każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie przestrzeni rzutowej wymiaru powyżej 1 zachowujące współliniowość punktów.
Punktem w nieskończoności (punktem niewłaściwym, punktem nieskończenie dalekim[1]) jest nazywany punkt przecięcia wszystkich prostych o danym kierunku, czyli punkt przecięcia wszystkich prostych równoległych.
Płaszczyznę rzutową otrzymuje się przez dodanie do płaszczyzny euklidesowej punktów w nieskończoności.
Prostą rzutową nazywa się prostą euklidesową uzupełnioną o punkt w nieskończoności (tzw. proste właściwe) lub zbiór wszystkich punktów w nieskończoności (tzw. prosta niewłaściwa).
Na płaszczyźnie rzutowej nie ma prostych równoległych i każde dwie proste przecinają się w jednym punkcie; podobną konstrukcję przeprowadza się w przestrzeniach o więcej niż dwóch wymiarach.
Ważnym pojęciem geometrii rzutowej jest zasada dualności, mówiąca, iż dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej pozostaje prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcia "prosta" i "punkt" (i odpowiednio "przechodzi przez" z "leży na"). Przykładami twierdzeń dualnych są twierdzenie Brianchona i twierdzenie Pascala.
- ↑ David Hilbert i Stefan Cohn-Vossen, Geometria poglądowa, Warszawa, 1956, rozdział III: Konfiguracje