Stopień wielomianu

Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian $xy=x^{1}y^{1}$ jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu $\left.f\right.$ oznaczamy $\deg f$ (skrót od angielskiego degree).

Niekiedy zakłada się, że jeśli $f\equiv 0$, wówczas $\deg f=-\infty$.

Stopień wielomianu ma następujące własności:

• stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:

$\deg(f\pm g)\leqslant \max(\deg f,\deg g)$;

• stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:

$\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g$.

Rozszerzenie pojęcia

Jeśli wielomian rzeczywisty $f(x)$ osiąga od pewnego miejsca tylko wartości dodatnie lub tylko wartości ujemne, wówczas stopniem tego wielomianu nazywamy wartość:

$\deg f\colon =\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}$.

Wzór ten możemy zastosować także do pewnych funkcji, niebędących wielomianami, np.:

• $\deg {\tfrac {1}{x}}=-1$
• $\deg {\sqrt {x}}={\tfrac {1}{2}}$
• $\deg \log x=0$
• $\deg \exp x=\infty$

Uwaga: Takie rozszerzenie pojęcia stopnia wielomianu nie jest poprawne z punktu widzenia algebry.

Przykłady

• $3x^{3}-2x^{2}+x-1$ — wielomian stopnia 3;
• $x^{5}+x^{3}-2x+11$ — wielomian stopnia 5;
• $2x$ — wielomian stopnia 1;
• $-9$ — wielomian stopnia 0;
• $0$ — wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).