Stopień wielomianu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stopień jednomianusuma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian xy=x^1 y^1 jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu \left.f\right. oznaczamy \deg f (skrót od angielskiego degree).

Niekiedy zakłada się, że jeśli f\equiv 0, wówczas \deg f =-\infty.

Stopień wielomianu ma następujące własności:

  • stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:
\deg(f\pm g)\leqslant \max (\deg f, \deg g);
  • stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:
\deg(f\cdot g)=\deg f+ \deg g.

Rozszerzenie pojęcia[edytuj]

Jeśli wielomian rzeczywisty f(x) osiąga od pewnego miejsca tylko wartości dodatnie lub tylko wartości ujemne, wówczas stopniem tego wielomianu nazywamy wartość:

\deg f\colon = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log|f(x)|}{\log(x)}.

Wzór ten możemy zastosować także do pewnych funkcji, nie będących wielomianami, np.:

  • \deg \tfrac{1}{x} = -1
  • \deg \sqrt x = \tfrac{1}{2}
  • \deg \log x = 0
  • \deg \exp x = \infty

Uwaga: Takie rozszerzenie pojęcia stopnia wielomianu nie jest poprawne z punktu widzenia algebry.

Przykłady[edytuj]

  • 3x^3-2x^2+x-1 — wielomian stopnia 3;
  • x^5+x^3-2x+11 — wielomian stopnia 5;
  • 2x — wielomian stopnia 1;
  • -9 — wielomian stopnia 0;
  • 0 — wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).