Liczby względnie pierwsze: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 16:14, 26 wrz 2008

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera (tocjent lub phi Eulera) dodatniej liczby całkowitej n jest liczbą liczb naturalnych między 1 a n, które są względnie pierwsze z n.

Przykłady

Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników.

Warunkiem równoważnym względnej pierwszości dwóch liczb jest:

jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, to istnieją liczby całkowite x i y, że

ax + bx = 1.

Ogólniej:

jeśli liczby a₁, ..., a_n są liczbami względnie pierwszymi, to istnieją liczby całkowite k₁, ..., k_n, że

k₁a₁ + ... + k_na_n = 1.

Zobacz też

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+'''Liczby względnie pierwsze''' – [[liczby całkowite]], które nie mają innych poza jedynką wspólnych [[dzielnik]]ów w rozkładzie na [[czynniki pierwsze]] lub, równoważnie, ich [[największy wspólny dzielnik|największym wspólnym dzielnikiem]] jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się '''parami względnie pierwszymi'''.
-[[Liczby naturalne]] dodatnie ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>'' nazywamy '''względnie pierwszymi''', jeśli ich [[największy wspólny dzielnik|NWD]] jest liczba 1. Oznacza to, że żadna liczba naturalna większa od 1 nie dzieli jednocześnie liczb ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>''.
+Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest [[algorytm Euklidesa]]. [[funkcja φ|Funkcja Eulera]] (''tocjent'' lub ''phi Eulera'') dodatniej liczby całkowitej ''n'' jest liczbą liczb naturalnych między 1 a ''n'', które są względnie pierwsze z ''n''.
-Rozkłady na [[czynniki pierwsze]] liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem dzielników pierwszych wspólnych dla wszystkich liczb ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>''.
+==Przykłady==
-Liczby ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>'' są '''parami względnie pierwsze''', jeśli
+* Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
-:<math>NWD(a_i,a_j)=1\;</math> dla <math>i\ne j</math>
+* Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
+* Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).
+==Własności==
-Jeśli ''a'' i ''b'' są względnie pierwsze, to ich [[najmniejsza wspólna wielokrotność|NWW]] jest
+Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich [[najmniejsza wspólna wielokrotność]] równa jest ich [[iloczyn]]owi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników.
-ich [[iloczyn]] ''ab''. Dotyczy to tylko względnie pierwszych par, czyli przypadku n=2
+Warunkiem równoważnym względnej pierwszości dwóch liczb jest:
-Jeśli liczby ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>'' są liczbami względnie pierwszymi, to istnieją liczby całkowite
+: jeśli liczby ''a'' i ''b'' są względnie pierwsze, to istnieją liczby całkowite ''x'' i ''y'', że
-''k<sub>1</sub>,...,k<sub>n</sub>''
+:: ''ax'' + ''bx'' = 1.
-takie, że ''k''<sub>1</sub>*''a''<sub>1</sub> + ... + ''k''<sub>''n''</sub>*''a''<sub>''n''</sub> = 1 .
+Ogólniej:
+: jeśli liczby ''a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub>'' są liczbami względnie pierwszymi, to istnieją liczby całkowite ''k<sub>1</sub>, ..., k<sub>n</sub>'', że
-===Przykłady===
+:: ''k''<sub>1</sub>''a''<sub>1</sub> + ... + ''k''<sub>''n''</sub>''a''<sub>''n''</sub> = 1.
-* 31 i 49 są względnie pierwsze.
-* Trójka 10, 12 i 15 to liczby względnie pierwsze, choć pary (10,12), (10,15) i (12,15) względnie pierwsze nie są.     <br>Uwaga:  najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 60, a nie 10*12*15 = 1800.
 ==Zobacz też==
-* [[Algorytm Euklidesa]]
 * [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
-* [[Liczby pierwsze]]
+* [[liczby pierwsze]]
-* [[Funkcja φ]]
+* [[algorytm Euklidesa]]
+* [[funkcja φ]]
-[[kategoria:teoria liczb]]
+[[Kategoria:Teoria liczb]]
 [[ar:أعداد أولية فيما بينها]]