Liczby całkowite

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite
Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych

Liczby całkowiteliczby naturalne oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero[1]. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy się symbolem , od niemieckiego Zahl – liczba[potrzebny przypis]. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia[2], choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol inicjał nazwy polskiej[potrzebny przypis].

Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności

Intuicyjnie reprezentuje różnicę

Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:

Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera[potrzebny przypis].

Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest

Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z

Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczność[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Integer, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].