Liczby całkowite

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby całkowiteliczby naturalne dodatnie \mathbb{N}_{+}=\{1, 2, 3, \dots\} oraz liczby przeciwne do nich \{-1, -2, -3, \dots\}, a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem \mathbb Z (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w szkołach podstawowych i średnich stosuje się jednak oznaczenie \mathbf C, żeby ułatwić skojarzenie z polską nazwą.

Definicja formalna[edytuj]

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 relacji równoważności

(a,\; b) \sim (c,\; d) \iff a+d = b+c.

Intuicyjnie (a,\; b) reprezentuje różnicę a-b.

Niech [(a,\;b)] oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest (a,\; b). Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze  \mathbb N_0 \times \mathbb N_0/ \sim  definiuje się jako:

[(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)],
[(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\; ad+bc)].

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.

Zerem tego pierścienia jest [(0,\; 0)] , elementem przeciwnym do [(a,\; b)] jest element [(b,\; a)] . Jedynką jest [(1,\; 0)] .
Podzbiór elementów postaci [(a,\; 0)] jest izomorficzny z \mathbb N_0 .

Ponieważ   [(a,\; b)] = [(a,\; 0)] +[(0,\; b)]   oraz  [(0,\; b)]   elementem przeciwnym do  [(b,\; 0)] , więc

[(a,\; b)] = [(a,\; 0)] - [(b,\; 0)] .

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczby [(a,\; b)] , dla których a>b nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby [(a,\; b)] , dla których a<b nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Liczność[edytuj]

Zbiór liczb całkowitych \mathbb Z jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych \mathbb N, gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna f: \mathbb Z \to \mathbb N przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

f(x)= \begin{cases} 2x, & \mbox{gdy } x > 0 \\ -2x+1, & \mbox{gdy } x \le 0 \end{cases}.

Zobacz też[edytuj]