Liczby całkowite

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby całkowiteliczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich , a także liczba zero. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w szkołach podstawowych i średnich stosuje się jednak oznaczenie , żeby ułatwić skojarzenie z polską nazwą.

Definicja formalna[edytuj]

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności

.

Intuicyjnie reprezentuje różnicę .

Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest . Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:

,
.

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.

Zerem tego pierścienia jest , elementem przeciwnym do jest element . Jedynką jest .

Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z .

Ponieważ oraz elementem przeciwnym do , więc

.

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczby , dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby , dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Liczność[edytuj]

Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych , gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

.

Zobacz też[edytuj]