Dzielnik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia w matematyce. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Dzielnikliczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą. W matematyce elementarnej dzielnikiem nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli. W notacji matematycznej stwierdzenie „ jest dzielnikiem ” zapisuje się jako [1].

Definicja[edytuj]

Niech będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Liczba jest dzielnikiem liczby jeżeli istnieje taka liczba że spełnione jest równanie

Mówi się wtedy, że dzieli bądź jest podzielne przez i zaznacza się symbolicznie Liczbę nazywa się z kolei wielokrotnością liczby .

Nazwa dzielnik ma swoją motywację w operacji dzielenia arytmetycznego: jeżeli

to nazywa się dzielną, – dzielnikiem, a ilorazem.

Własności i dalsze definicje[edytuj]

Prawdziwe są następujące reguły:

  • Jeżeli i to Więcej, dla dowolnych liczb całkowitych oraz
  • Jeżeli i to co oznacza, że podzielność jest przechodnia.
  • Jeżeli i to lub

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba zero, ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku (patrz: Dzielenie przez zero). Dzielniki liczby nazywa się dzielnikami trywialnymi, wszystkie pozostałe nazywa się z kolei nietrywialnymi; liczby mające dzielniki nietrywialne nazywa się liczbami złożonymi, zaś te, które nie mają nietrywialnych dzielników nazywa się liczbami pierwszymi. Dzielnikiem właściwym liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny.

Podwielokrotnością liczby nazywa się każdą taką liczbę dla której jest liczbą naturalną, w ten sposób jest wielokrotnością W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

  • iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
  • dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja (zob. funkcja τ; stosuje się również oznaczenia oraz ), z kolei suma dzielników danej liczby wyznaczona jest za pomocą funkcji (zob. funkcja σ).

Przykłady[edytuj]

Liczba dzieli liczbę ponieważ

Dzielniki liczby należą do zbioru przy czym są dzielnikami trywialnymi, zaś są nietrywialne. Liczba ma cztery dzielniki dodatnie, zatem ; ich suma wynosi dlatego

Uogólnienia[edytuj]

Definicję można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli i to elementy oraz nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

gdzie jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli to dla dowolnej liczby takiej, że zachodzi również Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie oraz ). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i nie będące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu który jest równocześnie dzielnikiem nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Graham, Knuth i Patashnik 2006 ↓, s. 124. Choć autorzy w swojej pracy preferują notację .

Bibliografia[edytuj]

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2003, s. 121. ISBN 83-7469-189-1.
  • Andrzej Mostowski, Marcel Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.
  • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Z języka angielskiego przełożyli Piotr Chrząstowski, Artur Czumaj, Leszek Gąsieniec, Marek Raczunas. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2006. ISBN 83-01-14764-4.