Zasada Fermata

Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata.

Zasada Fermata w optyce, której autorem jest Pierre de Fermat jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. Treść jej można sformułować następująco:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa zawsze lokalnie ekstremalną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzeba czasu najkrótszego, bądź najdłuższego z możliwych.

W praktyce najczęściej wybór pada na drogę, której przebycie zabiera najmniej czasu, niemniej powszechne, acz rzadziej obserwowane są przypadki wyboru drogi 'najdłuższej' (np. bieg promienia odbijającego się od powierzchni wklęsłego zwierciadła kulistego).

Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Przykład: wyprowadzenie prawa załamania:

Światło biegnie z punktu A do punktu B. Chcemy odnaleźć krzywą, po której się ono porusza. Załóżmy, że mamy dwa ośrodki optyczne o bezwzględnym współczynniku załamania $n_{1}$ i $n_{2}$. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio: $v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}$ i $v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}$ (rysunek). Oznaczmy przez x punkt, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków (jasne jest, że najszybszą drogą dotarcia do tego punktu w jednorodnym ośrodku jest linia prosta). Czas potrzebny na przebycie tej drogi to:

$t(x)={\frac {\sqrt {x^{2}+h_{1}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {h_{2}^{2}+(a-x)^{2}}}{v_{2}}}$

$t'(x)=0\iff {\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+h_{1}^{2}}}}}+{\frac {-(a-x)}{v_{2}{\sqrt {h_{2}^{2}+(a-x)^{2}}}}}=0\iff$

$\iff {\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\frac {x}{\sqrt {h_{1}^{2}+x^{2}}}}{\frac {a-x}{\sqrt {h_{2}^{2}+(a-x)^{2}}}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

Zatem:

${\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$