Zasada Fermata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zasada Fermata w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. Sformułował ją Pierre de Fermat, a treść zasady w jego ujęciu miała następujące brzmienie:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa najkrótszą możliwie drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzebuje minimalnego czasu.

Obecnie wiadomo, że sformułowanie to nie jest najogólniejsze. Spośród wiele możliwych dróg łączących ustalone punkty A oraz B może to być droga stacjonarna (minimalna, maksymalna albo należąca do punktu przegięcia funkcjonału). Stacjonarność drogi oznacza, że czas jej pokonania nie zmieni się - z dokładnością do wyrazów rzędu 2-go - gdyby światło poruszało się po niewiele różniącej się drodze. W ogólniejszym sformułowaniu zasada Fermata powinna więc brzmieć:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa stacjonarną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzebuje stacjonarnego czasu.

W klasycznych zagadnieniach takich jak załamanie, odbicie od płaskiej powierzchni droga pokonywana przez światło jest minimalna. W przypadku soczewkowania grawitacyjnego światło porusza się po drodze maksymalnej. Podczas odbicia od zwierciadła eliptycznego droga promienia osiąga punkt siodłowy (zmiana w jednym kierunku powoduje wzrost czasu pokonania drogi, a w kierunku prostopadłym do pierwszego – zmniejszenie).

Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Wyprowadzenie prawa załamania na przykładzie[edytuj]

Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata.

Światło biegnie z punktu A do punktu B. Należy odnaleźć krzywą, po której się ono porusza. Niech , oznaczają bezwzględne współczynniki załamania dwóch ośrodków optycznych. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio:

.

Niech x oznacza współrzędną punktu, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków. Najszybszą drogą dotarcia do tego punktu z punktu A oraz od tego punktu do punktu B w ośrodkach jednorodnych są odcinki linii prostych. Czas potrzebny na przebycie drogi od A do B wynosi więc:

,

gdzie jest odległością między punktami A i B mierzoną w poziomie wzdłuż granicy ośrodków. Stacjonarność rozwiązania wymaga zerowania się pierwszej pochodnej czasu po :

.

Zatem:

.