Metoda Haldane’a

Metoda Haldane'a, metoda przybliżonego wyznaczania kwantyli dla zmiennej o rozkładzie prawoskośnym i gęstości określonej na dodatniej półosi. Stosowana jest w matematyce ubezpieczeniowej do aproksymacji łącznej wartości szkód.

Idea metody

Niech rozważaną zmienną będzie zmienna $X$ o wartości oczekiwanej $\mu _{x}$. Metoda polega na takim dobraniu liczby $h\in (0,1)$, aby (przynajmniej w przybliżeniu) przekształcona zmienna

$Y={\Bigg (}{\frac {X}{\mu _{X}}}{\Bigg )}^{h}$

miała zerową wartość współczynnika skośności. Następnie wyznacza się jej kwantyle za pomocą aproksymacji normalnej, a zatem; $y_{\varepsilon }=\mu _{Y}+u_{\varepsilon }\cdot \sigma _{Y},$ gdzie $u_{\varepsilon }$ oznacza kwantyl standardowego rozkładu normalnego.

Postępowanie powyższe prowadzi do oszacowania kwantyla rzędu $1-\varepsilon$ wyjściowej zmiennej:

$x_{\varepsilon }=\mu _{x}\cdot (\mu _{Y}+u_{\varepsilon }\cdot \sigma _{Y})^{\frac {1}{h}}.$

Szczególny przypadek metody Haldane'a gdy $h={\frac {1}{3}}$ a aproksymowany rozkład to rozkład Gamma, prowadzi do formuły Wilsona-Hilferty'ego.

Bibliografia

1. Chris D. Daykin, Teivo Pentikäinen, Martti Pesonen: Practical Risk Theory for Actuaries. Wyd. 2. Londyn: Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group, 1994, s. 546, seria: Monographs on Stastistic and Applied Probability 53. ISBN 0-412-42850-4. (ang.). (o metodzie Haldane'a na str. 130)
2. Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.).brak strony w książce