Współczynnik skośności

Rozkłady jednowierzchołkowe: o skośności dodatniej (ang. positive skew, z lewej) symetryczny (w środku) i o skośności ujemnej (z prawej). Pokazano też ogólną zależność między średnią (ang. Mean) a medianą (ang. Median) i modą (ang. Mode) w rozkładach o różnej skośności.

Współczynnik skośności (współczynnik asymetrii, skośność) to miara asymetrii rozkładu wartości cechy statystycznej wyznaczana najczęściej jako iloraz trzeciego momentu centralnego przez trzecią potęgę odchylenia standardowego:

$A={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}$

gdzie $\mu _{3}$ to wartość trzeciego momentu centralnego, zaś $\sigma$ to wartość odchylenia standardowego.

Przykład rozkładu asymetrycznego o zerowej skośności. Rysunek ten stanowi kontrprzykład pokazujący, że zerowa skośność nie musi oznaczać rozkładu symetrycznego. (Skośność została obliczona za pomocą momentowego współczynnika skośności Pearsona)

Współczynnik skośności przyjmuje wartości dodatnie dla rozkładów o prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu), wartość zero dla rozkładu symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu).

Definicje

Def. 1 Rozkład nazywamy dodatnio skośnym (prawostronnie skośnym, prawostronnie asymetrycznym lub o prawostronnej asymetrii) jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa (dla rozkładów ciągłych) lub funkcja masy prawdopodobieństwa (dla rozkładów dyskretnych) po prawej stronie swojego maksimum (mody) maleje wolniej niż po lewej stronie (rozkład ma „prawy ogon dłuższy”).

Def. 2 Analogicznie definiuje się rozkład ujemnie skośny (lewostronnie skośny).

Rozkład liczby dorosłych mieszkańców (ang. Adults) w gospodarstwach domowych (ang. Households) w USA jest wyraźnie dodatnio skośny. Tu mediana jest większa niż średnia.

Średnia i mediana w rozkładach skośnych

Rozkład dodatnio skośny ma zazwyczaj wartość oczekiwaną (średnią) większą od mediany, a ujemnie skośny ma zazwyczaj średnią mniejszą od mediany.

Przykłady

Rozkłady symetryczne:

1. rozkład normalny
2. rozkład t-Studenta
3. rozkład dwumianowy dla $p=0.5$
4. rozkład Cauchy’ego

Rozkłady dodatnio skośne (prawoskośne):

1. rozkład Poissona (skośność maleje wraz ze wzrostem parametru $\lambda$; dla dużych $\lambda$ zbliża się do symetrii)
2. rozkład chi-kwadrat ($\chi ^{2}$) (szczególnie silnie dla małej liczby stopni swobody)
3. rozkład dwumianowy dla $p<0.5$
4. rozkład lognormalny
5. rozkład wykładniczy
6. rozkład gamma

Rozkłady ujemnie skośne (lewoskośne):

1. rozkład dwumianowy dla $p>0.5$
2. rozkład beta (dla odpowiednich parametrów, np.$\alpha >\beta$)
3. rozkład trójkątny lewoskośny
4. rozkład Weibulla (dla odpowiednich parametrów, w wersji lewoskośnej)

Inne współczynniki skośności

Współczynnikiem asymetrii nazywa się również miary wyznaczone według poniższych wzorów:

${\begin{aligned}&A_{d}={\frac {\mu -d}{\sigma }}\\&A_{m}=3{\frac {\mu -m}{\sigma }}\\&A_{Q}={\frac {Q_{1}+Q_{3}-2m}{2Q}}={\frac {Q_{1}+Q_{3}-2m}{Q_{3}-Q_{1}}}\end{aligned}}$

gdzie:

$\mu$ – średnia arytmetyczna,

$m$ – mediana,

$d$ – dominanta (moda),

$\sigma$ – odchylenie standardowe,

$Q_{1},\;Q_{3}$ – pierwszy i trzeci kwartyl,

$Q$ – odchylenie ćwiartkowe.

Może się zdarzyć, że dla tego samego rozkładu powyższe współczynniki będą miały różne znaki.