Element regularny półgrupy

Element regularny półgrupy to element, który posiada (uogólnioną) odwrotność. Podzbiór półgrupy nazywamy podzbiorem regularnym, jeżeli każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

Definicja

Niech $S$ będzie półgrupą i $x$ jej elementem. Powiemy, że $x$ jest regularny, jeśli istnieje $y\in S$ taki że $xyx=x.$

Istnienie odwrotności

Jeżeli element półgrupy jest regularny, to istnieje element do niego odwrotny w następującym sensie.

Definicja. Jeżeli $S$ jest półgrupą, a $x$ i $y$ jej elementami, to powiemy, że $y$ jest (uogólnionym) elementem odwrotnym do $x,$ jeżeli $xyx=x$ oraz $yxy=y.$

Jeżeli $x$ jest elementem regularnym $S$, czyli $xyx=x$ dla pewnego $y\in S,$ to $yxy$ jest elementem odwrotnym do $x,$ co nietrudno sprawdzić.

${\mathcal {D}}$-klasy regularne

Okazuje się, że regularność jest w istocie cechą ${\mathcal {D}}$-klas półgrupy (zob. relacje Greena), co pokazuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli pewna ${\mathcal {D}}$-klasa $\mathrm {D}$ półgrupy $S$ zawiera element regularny, to każdy element $\mathrm {D}$ jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja ${\mathcal {D}}$-klas regularnych:

Twierdzenie. Niech $\mathrm {D} \in S/{\mathcal {D}}.$ $\mathrm {D}$ jest reglarna wtedy i tylko wtedy gdy dla każdych $\mathrm {L} \in S/{\mathcal {L}}$ i $\mathrm {R} \in S/{\mathcal {R}}$ takich, że $\mathrm {L} \subseteq \mathrm {D}$ i $\mathrm {R} \subseteq \mathrm {D}$ zarówno $\mathrm {L}$ jak i $\mathrm {R}$ zawiera przynajmniej jeden idempotent.

Lemat Lallementa

W badaniu półgrup regularnych ważne jest twierdzenie opublikowane przez Gérarda Lallement‎a w 1966.

Oznaczenia. Niech $\rho$ będzie kongruencją na półgrupie regularnej $S.$ Przez $x\rho$ oznaczymy klasę abstrakcji elementu $x$ w relacji $\rho .$

Teza. Jeżeli $a\rho$ jest idempotentem w $S/\rho ,$ to istnieje idempotent $e$ w $S,$ taki że $a\rho =e\rho .$ Ponadto, można $e$ wybrać tak, by $\mathrm {R} _{e}\leqslant \mathrm {R} _{a}$ oraz $\mathrm {L} _{e}\leqslant \mathrm {L} _{a}.$

Twierdzenie odwrotne do lematu Lallementa jest fałszywe. Istnieje wiele półgrup, które nie są regularne, ale spełniają tezę lematu Lallementa. W szczególności, spełnia ją każda półgrupa skończona.