Relacje Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami \mathcal{L,\,R,\,D,\,J} i \mathcal{H}. Relacje \mathcal{L,\,R} i \mathcal{J} to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja \mathcal{H} jest przecięciem \mathcal{L} i \mathcal{R}. Relacja \mathcal{D} to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech S będzie półgrupą i a,\,b\in{S}. Przez S^1=S\cup\{1\} oznaczamy półgrupę S z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.

Wtedy

  • a\mathcal{L}b \iff S^1a=S^1b (a i b generują ten sam lewostronny ideał główny);
  • a\mathcal{R}b \iff aS^1=bS^1 (a i b generują ten sam prawostronny ideał główny);
  • a\mathcal{J}b \iff S^1aS^1=S^1bS^1 (a i b generują ten sam obustronny ideał główny);
  • \mathcal{H}=\mathcal{L}\cap\mathcal{R}.

Pokazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku \mathcal{L},\,\mathcal{R},\,\mathcal{J} i \mathcal{H}. Przypadek \mathcal{D} jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w [2] - zob. sekcję Bibliografia.)

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Niech a\in S i S niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy:

  • \mathrm{L}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{L}a\right\} jest klasą abstrakcji elementu a w relacji \mathcal{L}

i analogicznie:

  • \mathrm{R}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{R}a\right\},
  • \mathrm{D}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{D}a\right\},
  • \mathrm{J}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{J}a\right\} i
  • \mathrm{H}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{H}a\right\}

są klasami abstracji elementu a odpowiednio w relacjach \mathcal{R},\,\mathcal{D},\,\mathcal{J} i \mathcal{H}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Częściowe porządki na zbiorach klas[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej półgrupy S istnieją naturalne porządki na S/\mathcal{L},\,S/\mathcal{R} i S/\mathcal{J} zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:

  • \mathrm{L}_a\leqslant\mathrm{L}_b \iff S^1a\subseteq S^1b,
  • \mathrm{R}_a\leqslant\mathrm{R}_b \iff aS^1\subseteq bS^1

oraz

  • \mathrm{J}_a\leqslant\mathrm{J}_b \iff S^1aS^1\subseteq S^1bS^1.

Pokazuje się, że zdefniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.

Jeżeli S/\mathcal{L},\,S/\mathcal{R} lub S/\mathcal{J} spełniają następujący warunek:

każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,

to mówimy, że S spełnia odpowiednio {\min}_{\mathrm{L}},\,{\min}_{\mathrm{R}} lub {\min}_{\mathrm{J}}. Jeżeli półgrupa spełnia zarówno {\min}_{\mathrm{L}} jak i {\min}_{\mathrm{R}}, to zachodzi równość \mathcal{D}=\mathcal{J}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Zawierania[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:

  • \mathcal{H}\subseteq\mathcal{L}\subseteq\mathcal{D},
  • \mathcal{H}\subseteq\mathcal{R}\subseteq\mathcal{D},
  • \mathcal{D}\subseteq\mathcal{J}.

W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi \mathcal{D}=\mathcal{J}, jednak nie jest to prawdą w ogólności.

Lemat i twierdzenie Greena[edytuj | edytuj kod]

Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena.

Niech a,b\in S oraz a\mathcal{R}b. Niech s,s'\in S^1 będą takimi elementami, że as=b,\,bs'=a (takie elementy istnieją, skoro a\mathcal{R}b). Wtedy odwzorowania x\rightarrow xs dla x\in\mathrm{L}_a oraz y\rightarrow ys' dla y\in\mathrm{L}_b są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z \mathrm{L}_a na \mathrm{L}_b i z \mathrm{L}_b na \mathrm{L}_a. Przekształcenia te zachowują \mathcal{R}-klasy argumentów.

Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie \mathcal{L}-klasy są równoliczne. Z dualnej wersji lematu Greena wynika, że wszystkie \mathcal{R}-klasy są równoliczne. Z lematu Greena można również wyprowadzić równoliczność \mathcal{H}-klas zawartych w tej samej \mathcal{D}-klasie.

Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena.

Jeżeli \mathrm{H}\in S/\mathcal{H} jest \mathcal{H}-klasą, to zachodzi jedna z dwóch możliwości:

  • Albo \mathrm{H}^2\cap\mathrm{H}=\emptyset (czyli iloczyn dowolnych dwóch elementów \mathrm{H} znajduje się poza \mathrm{H}),
  • albo \mathrm{H}^2=\mathrm{H} i \mathrm{H} jest grupą.

Przypisy

  1. Ten napis jest poprawny, ponieważ relacje \mathcal{L} i \mathcal{R} są przemienne dla dowolnej półgrupy.
  2. Używana jest standardowa w teorii półgrup notacja, w której argumenty funkcji zapisywane są po lewej stronie symbolu funkcji.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • [1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society
  • [2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press