Relacje Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami i Relacje i to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja jest przecięciem i Relacja to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.

Definicja[edytuj]

Niech będzie półgrupą i Przez oznaczamy półgrupę z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.

Wtedy

  • ( i generują ten sam lewostronny ideał główny);
  • ( i generują ten sam prawostronny ideał główny);
  • [1] (relacja jest złożeniem relacji i );
  • ( i generują ten sam obustronny ideał główny);

Pokazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku i Przypadek jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w [2] - zob. sekcję Bibliografia.)

Oznaczenia[edytuj]

Niech i niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy:

  • jest klasą abstrakcji elementu w relacji

i analogicznie:

  • i

są klasami abstracji elementu odpowiednio w relacjach i

Przykłady[edytuj]

  • W dowolnej grupie mamy
  • W nieskończonej półgrupie cyklicznej mamy
  • Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy
  • W pełnej półgrupie transformacji zbioru oznaczanej symbolem mamy
    • [2]
    • gdzie oznacza jądro dla dowolnego
  • Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni oznaczanej symbolem

Częściowe porządki na zbiorach klas[edytuj]

Dla dowolnej półgrupy istnieją naturalne porządki na i zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:

oraz

Pokazuje się, że zdefniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.

Jeżeli lub spełniają następujący warunek:

każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,

to mówimy, że spełnia odpowiednio lub Jeżeli półgrupa spełnia zarówno jak i to zachodzi równość

Własności[edytuj]

Zawierania[edytuj]

Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:

W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi jednak nie jest to prawdą w ogólności.

Lemat i twierdzenie Greena[edytuj]

Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena.

Niech oraz Niech będą takimi elementami, że (takie elementy istnieją, skoro ). Wtedy odwzorowania dla oraz dla są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z na i z na Przekształcenia te zachowują -klasy argumentów.

Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie -klasy są równoliczne. Z dualnej wersji lematu Greena wynika, że wszystkie -klasy są równoliczne. Z lematu Greena można również wyprowadzić równoliczność -klas zawartych w tej samej -klasie.

Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena.

Jeżeli jest -klasą, to zachodzi jedna z dwóch możliwości:

  • Albo (czyli iloczyn dowolnych dwóch elementów znajduje się poza ),
  • albo i jest grupą.

Przypisy

  1. Ten napis jest poprawny, ponieważ relacje i są przemienne dla dowolnej półgrupy.
  2. Używana jest standardowa w teorii półgrup notacja, w której argumenty funkcji zapisywane są po lewej stronie symbolu funkcji.

Bibliografia[edytuj]

  • [1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society
  • [2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press