System Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

System Hilberta – dowolny system automatycznego dowodzenia twierdzeń, w którym występuje pewien zbiór aksjomatów i reguł dowodzenia, a dowód składa się z ciągu formuł będących albo aksjomatami, albo formułami wyprowadzonymi z poprzednich formuł na podstawie reguł dowodzenia, z których ostatnia jest właśnie formułą którą chcemy dowieść. Jest to wnioskowanie w przód w przeciwieństwie do wnioskowania w tył znanego z innych systemów dowodzenia.

Istnieje wiele Systemów Hilberta do różnych logik i dla jednej logiki.

Podstawową regułą dowodzenia w większości z nich jest modus ponens:

  • jeśli i , to

Ponadto zwykle dodaje się regułę substytucji:

  • jeśli dana jest pewna formuła, to wolno dopisać formułę powstałą przez podstawienie dowolnej formuły za wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej

Zamiast skończonej liczby aksjomatów dopuszcza się skończoną liczbę schematów aksjomatu, czyli w istocie nieskończenie wiele aksjomatów.

Przykład[edytuj]

Załóżmy że mamy regułę modus ponens i dwa schematy aksjomatu:

Udowodnijmy teraz że :
Z schematu 1 podstawiając ,

Z schematu 1 podstawiając ,

Z schematu 2 podstawiając ,

Z drugiej i trzeciej formuły i modus ponens:

Z pierwszej i czwartej formuły i modus ponens:

Co miało zostać udowodnione.