Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności

Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności – twierdzenie udowodnione przez Ottona Nikodyma w 1933 roku^[1], które gwarantuje jednostajną ograniczoność rodziny miar wektorowych na danym σ-ciele zbiorów, o ile są one punktowo jednostajnie ograniczone.

Nikodym udowodnił pierwotnie twierdzenie dla miar przyjmujących wartości skalarne. Poniższa wersja sformułowana dla miar wektorowych pochodzi od Drewnowskiego^[2].

Twierdzenie

Niech ${\mathcal {F}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru $\Omega$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Jeżeli $\{\mu _{t}\colon t\in T\}$ jest taką rodziną miar wektorowych na $A$ przyjmujących wartość w $X,$ że gdy dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {F}}$ zachodzi

\sup _{t\in T}\|\mu _{t}(A)\|<\infty ,

to

\sup _{t\in T}\|\mu _{t}\|(\Omega )<\infty ,

gdzie $\|\mu \|$ oznacza półwahanie miary $\mu$ ^[3].

Przypisy

↑ O. Nikodym, Sur les familles bornées de fonctions parfaitement additives d’ensemble abstrait, Monatsh. Math. Phys. 40 (1933), no. 1, s. 418–426.
↑ L. Drewnowski, Uniform boundedness principle for finitely additive vector measures, „Bull. Acad. Polon. Sci.”, 21 (1973), 115–118.
↑ Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 14–16.

Bibliografia

Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.

[1] O. Nikodym, Sur les familles bornées de fonctions parfaitement additives d’ensemble abstrait, Monatsh. Math. Phys. 40 (1933), no. 1, s. 418–426.

[2] L. Drewnowski, Uniform boundedness principle for finitely additive vector measures, „Bull. Acad. Polon. Sci.”, 21 (1973), 115–118.

[CITEREFDiestel,_Uhl197714–16-3] Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 14–16.

[1]

[2]

[3]