Przestrzeń mierzalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń mierzalna – to dany zbiór wraz z rodziną jego podzbiorów (tzw. \sigma-ciałem, \sigma-algebrą zbiorów), zawierającą zbiór pusty, dopełnienia wszystkich jej elementów oraz sumę dowolnej przeliczalnej liczby jej elementów.

Przestrzenie mierzalne są obiektami studiowanymi w matematyce, głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Wprowadzenie[edytuj]

We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że aksjomat wyboru dopuszcza istnienie dziwnych zbiorów, zawartych w zbiorze liczb rzeczywistych \mathbb R, dla których nie można określić miary (wielkości), np. miary Lebesgue'a (przykładem jest zbiór Vitalego[1]).

Gdy odrzucono aksjomat wyboru, a zamiast niego przyjęto aksjomat determinacji, to okazało się, że tak ograniczone podzbiory zbioru \mathbb R są mierzalne (twierdzenie Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego[2]). Podobnie mierzalne okazały się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak zbyt restrykcyjne.

Z czasem okazało się, że istnienie miary jest gwarantowane dla tzw. dobrych zbiorów, czyli takich, które są zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie. Udowodniono, że zbiór utworzony ze skończonej liczby dobrych zbiorów za pomocą powyższych operacji również jest dobry. Istotnym krokiem było zezwolenie na operacje nieskończone, choć przeliczalne, co doprowadziło do rozkwitu teorii miary zbiorów. Pojęcie \sigma-ciała może być uznane za abstrakcyjną definicję opisanej wyżej rodziny dobrych zbiorów.

Definicje[edytuj]

1) Rodzinę \mathcal{F} podzbiorów zbioru X nazywa się \sigma-ciałem zbioru X (lub \sigma-algebrą zbioru X) jeżeli:

\varnothing \in \mathcal F;
A \in \mathcal F \Rightarrow X \setminus A \in \mathcal F;
A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal F.
\mathcal{F} jest więc przeliczalnie addytywnym ciałem podzbiorów zbioru X.

2) Przestrzenią mierzalną nazywa się zbiórX z jego \sigma-ciałem \mathcal{F}, tzn. parę (X, \mathcal F) .

3) Przestrzenią mierzalną z miarą nazywa się trójkę (X, \mathcal F, \mu), gdzie (X, \mathcal F) jest przestrzenią mierzalną, a

\mu\colon \mathcal F \to [0, \infty]

jest (σ-addytywną) miarą.

4) Przestrzenią probabilistyczną nazywa się przestrzeń mierzalną z miarą probabilistyczną.

Własności σ-algebry[edytuj]

Ponieważ każde \sigma-ciało jest zamknięte na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnej rodziny \sigma-ciał na X jest znów \sigma-ciałem zbiorów. Dowodzi się, że dla dowolnej rodziny \mathcal A podzbiorów zbioru X istnieje najmniejsze \sigma-ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa się je \sigma-ciałem generowanym przez tę rodzinę i oznacza symbolem \sigma(\mathcal A) bądź \langle \mathcal A \rangle. Niech \mathcal F będzie \sigma-ciałem podzbiorów X, a \mathcal I będzie \sigma-ideałem podzbiorów X. Wówczas \sigma-ciałem generowanym przez \mathcal F \cup \mathcal I jest zbiór

\sigma(\mathcal F \cup \mathcal I) = \left\{A \triangle B\colon A \in \mathcal F \and B \in \mathcal I\right\},

gdzie \triangle oznacza operację różnicy symetrycznej.

Znaczenie σ-algebry[edytuj]

Pojęcie σ-algebry ma istotne znaczenie w definicji miary: zbiór podzbiorów, dla których miara jest definiowana, musi tworzyć σ-algebrę.

Przykłady[edytuj]

Niech X będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów X\sigma-ciałami na X:

  • rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X – jest to najmniejsze \sigma-ciało określone na X,
  • rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X – jest to z kolei największe \sigma-ciało na danym zbiorze,
  • rodzina \mathcal F_A = \{\varnothing, X, A, X \setminus A\} dla dowolnego A \subseteq X,
  • każde skończone ciało podzbiorów X.

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas elementy \sigma-ciała \sigma(\tau) nazywa się zbiorami borelowskimi przestrzeni X.

\sigma(\mathcal B \cup \mathcal L) = \{G \triangle L\colon L \in \mathcal L \and G jest zbiorem typu Gδ\} jest \sigma-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a
oraz
\sigma(\mathcal B \cup \mathcal K) = \{O \triangle K\colon K \in \mathcal K \and O jest zbiorem otwartym\} jest \sigma-ciałem zbiorów o własności Baire'a.
Jeśli \lambda jest miarą Lebesgue'a na prostej, to (\mathbb R, \sigma(\mathcal B \cup \mathcal L), \lambda) jest przestrzenią mierzalna.

Przypisy

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 
  2. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67-71.

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]