Przestrzeń mierzalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń mierzalnaprzestrzeń wraz z wyróżnioną rodziną jej zbiorów nazywaną σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów, do której należą zbiór pusty, dopełnienie dowolnego zbioru z rodziny oraz suma dowolnej przeliczalnej liczby jej zbiorów.

Przestrzenie mierzalne bada się głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami (w drugim przypadku: miarami probabilistycznymi), które są funkcjami przestrzeni mierzalnych w zbiór liczb rzeczywistych.

Wprowadzenie[edytuj]

We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że aksjomat wyboru dopuszcza istnienie dziwnych zbiorów, zawartych w przestrzeni liczb rzeczywistych, dla których nie można jednoznacznie określić ich wielkości (tj. miary Lebesgue’a, przykładem jest zbiór Vitalego[1]).

Aby ustrzec się tego rodzaju problemów nałożono ograniczenia na możliwe do mierzenia za pomocą miar zbiory (tzw. zbiory mierzalne); pierwotnie założono, że powinny to być zbiory zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie. Tego rodzaju „porządne” rodziny zbiorów nazywa się ciałami zbiorów (lub algebrami zbiorów); rozpatrywano na nich funkcje nazywane „miarami”, które dziś nazywa się miarami skończenie addytywnymi (nie są one miarami w dzisiejszym znaczeniu tego słowa). Prawdziwy przełom przyniosło rozszerzenie rodziny zbiorów o zamkniętość na przeliczalne (a nie tylko skończone) sumy nazywanych σ-ciałami wraz z uogólnieniem w podobny sposób definicji wspomnianych „miar” do miar przeliczalnie addytywnych (nazywanych dziś po prostu miarami).

Nie jest to jedyne rozwiązanie: zrezygnowanie z aksjomatu wyboru na rzecz aksjomatu determinacji powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych wtedy stają mierzalne (twierdzenie Mycielskiego–Świerczkowskiego[2]). Podobnie mierzalne okazują się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak w wielu zastosowaniach zbyt restrykcyjne i mają raczej znaczenie teoretyczne.

Definicja[edytuj]

Niech będzie ustaloną przestrzenią. Rodzinę zbiorów przestrzeni nazywa się σ-ciałem lub σ-algebrą tej przestrzeni, jeżeli:

  • zbiór pusty należy do
  • dopełnienie zbioru należącego do należy do
  • suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do należy do

Zbiory należące do σ-ciała nazywa się zbiorami -mierzalnymi lub krótko: mierzalnymi (jeśli σ-ciało jest ustalone). Parę złożoną z przestrzeni i określonego na nim σ-ciała nazywa się przestrzenią mierzalną.

σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów[edytuj]

σ-ciało generowane przez dowolną rodzinę[edytuj]

Niech będzie dowolną rodziną zbiorów Wówczas istnieje jednoznacznie wyznaczone, najmniejsze σ-ciało zawierające każdy zbiór należący do (przy czym nie musi być ona σ-ciałem): jest to w istocie część wspólna wszystkich σ-ciał zawierających Oznacza się ją i nazywa σ-ciałem generowanym przez rodzinę

Jeśli jest pusta, to W przeciwnym przypadku zawiera ona wszystkie zbiory przestrzeni które można uzyskać z elementów za pomocą przeliczalnej ilości dopełnień, sum i przekrojów. W przypadku rodziny zawierającej pojedynczy zbiór nadużywa się często notacji pisząc zamiast czy zamiast w przypadku większej ich liczby.

σ-ciało generowane przez funkcję[edytuj]

Jeśli jest funkcją przestrzeni w przestrzeń a jest σ-ciałem zbiorów w to σ-ciałem generowanym przez funkcję oznaczanym nazywa się zbiór wszystkich przeciwobrazów zbiorów należących do tj.

Funkcję jest mierzalna względem σ-ciała zbiorów przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem

Gdy nie jest wyraźnie określona, powszechnie rozumie się, że gdy jest przestrzenią metryczną lub topologiczną, to jest rodziną zbiorów borelowskich przestrzeni

σ-ciała borelowskie i Lebesgue’a[edytuj]

Ważnym przykładem jest wspomniane wcześniej σ-ciało zbiorów borelowskich nad dowolną przestrzenią topologiczną generowane przez zbiory otwarte (lub równoważnie: domknięte)). Zwykle to σ-ciało nie jest niewłaściwe (tj. nie jest zbiorem potęgowym przestrzeni, zob. Przykłady); nietrywialnym przykładem zbioru nie-borelowskiego jest wspomniany we Wprowadzeniu zbiór Vitalego.

W przestrzeniach euklidesowych doniosłe znaczenie ma inne σ-ciało: σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, które zawiera więcej zbiorów niż σ-ciało zbiorów borelowskich tych przestrzeni. Z tego powodu jest ono preferowane w teorii całkowania, jako że czyni ona z przestrzeni euklidesowych przestrzenie zupełnie mierzalne.

σ-ciało produktowe[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi. Rodzina

jest π-układem w przestrzeni produktowej ; określone w naturalny sposób σ-ciało produktowe dane jest wzorem

Własności[edytuj]

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów a będzie σ-ideałem podzbiorów . Wówczas σ-ciałem generowanym przez jest zbiór

gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.

Przykłady[edytuj]

Niech będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów są σ-ciałami na :

  • rodzina złożona ze zbioru pustego i przestrzeni to najmniejsze σ-ciało nazywa się trywialnym;
  • rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni to największe σ-ciało na danym zbiorze nazywa się niewłaściwym lub dyskretnym;
  • rodzina dla dowolnego
  • każde ciało zbiorów przestrzeni .
  • Niech będzie σ-ciałem podzbiorów borelowskich prostej rzeczywistej a oznacza σ-ideał zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue'a), zaś będzie σ-ideałem zbiorów mizernych (pierwszej kategorii w sensie Baire'a). Wówczas
jest zbiorem typu Gδ jest σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a
oraz
jest zbiorem otwartym jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire'a.
Przestrzeń jest mierzalna w sensie Lebesgue’a (tj. z miarą Lebesgue'a).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 
  2. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67-71.

Bibliografia[edytuj]