Przestrzeń mierzalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń mierzalnaprzestrzeń wraz z wyróżnioną rodziną jej zbiorów nazywaną σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów, do której należą zbiór pusty, dopełnienie dowolnego zbioru z rodziny oraz suma dowolnej przeliczalnej liczby jej zbiorów (skończonej lub nieskończonej).

Przestrzenie mierzalne bada się głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami (w drugim przypadku: miarami probabilistycznymi), które są funkcjami przestrzeni mierzalnych w zbiór liczb rzeczywistych.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że aksjomat wyboru dopuszcza istnienie dziwnych zbiorów, zawartych w przestrzeni liczb rzeczywistych, dla których nie można jednoznacznie określić ich wielkości (tj. miary Lebesgue’a, przykładem jest zbiór Vitalego[1]).

Aby ustrzec się tego rodzaju problemów nałożono ograniczenia na możliwe do mierzenia za pomocą miar zbiory (tzw. zbiory mierzalne). Pierwotnie założono, że powinny to być zbiory zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie, przy czym zakładano, że można wykonywać skończoną liczbę sumowań. Tego rodzaju „porządne” rodziny zbiorów nazywa się ciałami zbiorów (lub algebrami zbiorów); rozpatrywano na nich funkcje nazywane „miarami”, które dziś nazywa się miarami skończenie addytywnymi.

Prawdziwy przełom przyniosło rozszerzenie warunku zamkniętości na przeliczalne (a nie tylko skończone) sumy zbiorów, dla których określa się miary. Zbiory te nazwano σ-ciałami . W ten sposób uogólniono definicję „miar” do miar przeliczalnie addytywnych (nazywanych dziś po prostu miarami).

Nie jest to jedyne rozwiązanie. Np. zrezygnowanie z aksjomatu wyboru na rzecz aksjomatu determinacji powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych stają się wtedy mierzalne (twierdzenie Mycielskiego–Świerczkowskiego[2]). Podobnie mierzalne okazują się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak w wielu zastosowaniach zbyt restrykcyjne i mają raczej znaczenie teoretyczne.

Definicja σ-ciała[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ustaloną przestrzenią. Rodzinę zbiorów przestrzeni nazywa się σ-ciałem lub σ-algebrą tej przestrzeni, jeżeli:

  • zbiór pusty należy do
  • dopełnienie zbioru należącego do należy do
  • suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do należy do

Definicja zbiorów mierzalnych[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dana jest przestrzeń oraz ustalone jest w niej σ-ciało , to zbiory należące do σ-ciała nazywa się zbiorami -mierzalnymi (krótko: mierzalnymi).

Definicja przestrzeni mierzalnej[edytuj | edytuj kod]

Parę złożoną z przestrzeni i określonego na nim σ-ciała nazywa się przestrzenią mierzalną.

σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów[edytuj | edytuj kod]

σ-ciało generowane przez dowolną rodzinę[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru Wówczas istnieje jednoznacznie wyznaczone, najmniejsze σ-ciało zawierające każdy zbiór należący do (przy czym nie musi być ona σ-ciałem): jest to w istocie część wspólna wszystkich σ-ciał zawierających Oznacza się ją i nazywa σ-ciałem generowanym przez rodzinę

Jeśli jest pusta, to W przeciwnym przypadku zawiera ona wszystkie zbiory przestrzeni które można uzyskać z elementów za pomocą przeliczalnej ilości dopełnień, sum i przekrojów. W przypadku rodziny zawierającej pojedynczy zbiór nadużywa się często notacji pisząc zamiast czy zamiast w przypadku większej ich liczby.

σ-ciało generowane przez funkcję[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest funkcją przestrzeni w przestrzeń a jest σ-ciałem zbiorów w to σ-ciałem generowanym przez funkcję oznaczanym nazywa się zbiór wszystkich przeciwobrazów zbiorów należących do tj.

Funkcję jest mierzalna względem σ-ciała zbiorów przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem

Gdy nie jest wyraźnie określona, powszechnie rozumie się, że gdy jest przestrzenią metryczną lub topologiczną, to jest rodziną zbiorów borelowskich przestrzeni

σ-ciała borelowskie i Lebesgue’a[edytuj | edytuj kod]

Ważnym przykładem jest wspomniane wcześniej σ-ciało zbiorów borelowskich nad dowolną przestrzenią topologiczną generowane przez zbiory otwarte (lub równoważnie: domknięte)). Zwykle to σ-ciało nie jest niewłaściwe (tj. nie jest zbiorem potęgowym przestrzeni, zob. Przykłady); nietrywialnym przykładem zbioru nie-borelowskiego jest wspomniany we Wprowadzeniu zbiór Vitalego.

W przestrzeniach euklidesowych doniosłe znaczenie ma inne σ-ciało: σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, które zawiera więcej zbiorów niż σ-ciało zbiorów borelowskich tych przestrzeni. Z tego powodu jest ono preferowane w teorii całkowania, jako że czyni ona z przestrzeni euklidesowych przestrzenie zupełnie mierzalne.

σ-ciało produktowe[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi. Rodzina

jest π-układem w przestrzeni produktowej ; określone w naturalny sposób σ-ciało produktowe dane jest wzorem

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1: σ-ciało trywialne i dyskretne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów są σ-ciałami na :

  • rodzina złożona ze zbioru pustego i przestrzeni to najmniejsze σ-ciało nazywa się trywialnym;
  • rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni to największe σ-ciało na danym zbiorze nazywa się niewłaściwym lub dyskretnym;
  • rodzina dla dowolnego

Przykład 2: Przestrzeń mierzalna w sensie Lebesque'a[edytuj | edytuj kod]

(1) Niech będzie σ-ciałem podzbiorów a będzie σ-ideałem podzbiorów . Wówczas σ-ciałem generowanym przez jest zbiór

gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.

(2) W szczególności, gdy jest σ-ciałem podzbiorów borelowskich prostej rzeczywistej a oznacza σ-ideał zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue’a), zaś jest σ-ideałem zbiorów mizernych (pierwszej kategorii w sensie Baire’a), to

jest zbiorem typu Gδ jest σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a

oraz

jest zbiorem otwartym jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a.

Zatem przestrzeń jest mierzalna w sensie Lebesgue’a (tj. z miarą Lebesgue’a).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 
  2. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67-71.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]