Współczynniki Clebscha-Gordana

Współczynniki Clebscha-Gordana – współczynniki liczbowe pojawiające się w rozkładzie stanów kwantowych, będących stanami własnymi operatorów momentu pędu, spinu bądź izospinu. Wartości współczynników Clebscha-Gordana są stabelaryzowane. Współczynniki te zostały wprowadzone przez niemieckich matematyków Alfreda Clebscha i Pawła Gordana, w związku z rozwojem teorii niezmienników.

Sprzężenie dwóch stanów kwantowych

Jeżeli dwa stany kwantowe $|j_{1},m_{1}\rangle$ oraz $|j_{2},m_{2}\rangle$ opisane liczbami kwantowymi momentu pędu orbitalnego/spinowego $j_{1}$ oraz $j_{2}$ oraz liczbami kwantowymi $m_{1}$ oraz $m_{2},$ opisującymi rzuty wektorów momentu pędu na wybraną oś $z$ sprzęgają się ze sobą, to powstający stan jest superpozycją stanów $|j,m\rangle ,$ tj.

$|j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle =\sum _{j}C_{m\,m_{1}\,m_{2}}^{\,j\,\,\,j_{1}\,\,\,j_{2}}\,|j,m\rangle$

przy czym:

• $m=m_{1}+m_{2}$
• $j\geqslant |m|,$ $j\in \{|j_{1}-j_{2}|,\,\,|j_{1}-j_{2}|\!+\!1,\,\dots ,\,j_{1}\!+\!j_{2}\},$
• $C_{m\,m_{1}\,m_{2}}^{\,j\,\,\,j_{1}\,\,\,j_{2}}$ – współczynniki Clebscha-Gordana.

Rozkład danego stanu sprzężonego

Słuszna jest też relacja odwrotna, pozwalająca znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego $|j,m\rangle$ w bazie $|j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle$ stanów niesprzężonych

$|j,m\rangle =\sum _{j_{1},j_{2}}\sum _{m_{1},m_{2}}C_{m\,m_{1}\,m_{2}}^{\,j\,\,\,j_{1}\,\,\,j_{2}}\,|j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle$

przy czym $m_{1},m_{2}$ oraz $j_{1},j_{2}$ takie że:

• $m_{1}+m_{2}=m,$
• $|j_{1}-j_{2}|=j\;{}$ lub ${}\;|j_{1}-j_{2}|+1=j\;{}$ lub ${}\;\dots ,j_{1}+j_{2}=j.$

Stany kwantowe operatora izospinu

Współczynniki Clebscha-Gordana znajdują ważne zastosowanie w znajdowaniu stanów po sprzężeniu stanów izospinowych oddziałujących cząstek lub w rozkładzie stanu sprzężonego w bazie dwóch stanów niesprzężonych – pozwala to np. obliczać amplitudy rozpraszania oddziałujących cząstek lub względne prawdopodobieństwa rozpadu danej cząstki na inne cząstki elementarne. Z uwagi na to, że operatory izospinu ${\hat {I}}$ i rzutu izospinu ${\hat {I}}_{3}$ na wybraną oś mają identyczne własności algebraiczne jak operatory orbitalnego i spinowego momentu pędu, współczynniki Clebscha-Gordana są takie same, jak w przypadku stanów momentu pędu.

Przykład: sprzężenie stanów $j_{1}=1/2,j_{2}=1/2$

Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych $j_{1}=1/2,j_{2}=1/2.$

(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości $j,m,m_{1},m_{2}.$

(2) Współczynniki C-G dla danych wartości $j,m$ i wartości $m_{1},m_{2}$ są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami $j,m$ oraz wiersza w wartościami $m_{1},m_{2}$ – podano je wytłuszczonym drukiem.Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.

$j_{1}=1/2\,\,j_{2}=1/2$

	j	1
	m	1
m1, m2	+1/2, +1/2	1

cd. $j_{1}=1/2\,\,j_{2}=1/2$

	j	1	0
	m	0	0
m1, m2	1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, 1/2	1/2	−1/2

cd. $j_{1}=1/2\,\,j_{2}=1/2$

	j	1
	m	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	1

Np. dla $m_{1}=+1/2,m_{2}=-1/2$ mamy

• dla $j=1,m=0$ współczynnik $C=1/{\sqrt {2}}$
• dla $j=0,m=0$ współczynnik $C=1/{\sqrt {2}}$

Na podstawie tabel odczytujemy: (a) stany $|1/2,+1/2\rangle ,|1/2,+1/2\rangle$ sprzęgają się w stan $|1,+1\rangle ,$ tj.

$|1/2,+1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle =|1,+1\rangle$

(b) stany $|1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle$ sprzęgają się w superpozycję stanów $|1,0\rangle ,|0,0\rangle ,$ tj.

$|1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1,0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|0,0\rangle$

(c) stany $|1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle$ sprzęgają się w superpozycję stanów $|1,0\rangle ,|0,0\rangle ,$ tj.

$|1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1,0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|0,0\rangle$

(d) stany $|1/2,-1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle$ sprzęgają się w stan $|1,-1\rangle ,$ tj.

$|1/2,-1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1,-1\rangle$

Przykład: Rozkład danego stanu sprzężonego

Na podstawie powyższych tabel można znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego $|j,m\rangle$ w bazie $|j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle$ stanów niesprzężonych: tym razem znajdujemy tabelę z odpowiednimi wartościami $j,m,$ a następnie odczytujemy współczynniki C-G w kolumnie, odpowiadającej tym wartościom.

Np. niech $j=1,j_{1}=j_{2}=1/2;$ wtedy liczby $m_{j},m_{j_{1}},m_{j_{2}}$ mogą mieć wartości:

$m_{j}=+1,0,-1,$

$m_{j_{1}}=+1/2,-1/2,$

$m_{j_{2}}=+1/2,-1/2.$

Na podstawie tabel odczytujemy:

(a) stan $|1,+1\rangle$ rozkłada się w pojedynczy sposób

$|1,+1\rangle =|1/2,+1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle$

(b) stan $|1,0\rangle$ rozkłada się na superpozycję stanów

$|1,0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle$

(c) stan $|1,-1\rangle$ rozkłada się w pojedynczy sposób

$|1,+1\rangle =|1/2,+1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle$

(d) stan $|0,0\rangle$ rozkłada się na superpozycję stanów

$|0,0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle$

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.