Spin (fizyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Artystyczna wizja poziomów energetycznych obiektów o spinie 5/2 (niebieski) i 2 (różowy). Autor: Julian Voss-Andreae

Spinmoment pędu cząstki, własność czysto kwantowa. W klasycznej fizyce moment pędu jest związany z ruchem obrotowym ciał w przestrzeni. Jednak nie dotyczy to spinu: spin nie jest związany z ruchem obrotowym wokół jakiegokolwiek układu w przestrzeni, np. z obrotem cząstki wokół własnej osi, mimo że początkowo próbowano go sobie tak wyobrazić; spin jest własnością wynikającą z kwantowej natury cząstki.

Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma właściwy siebie spin. Cząstki złożone (np. jądra atomów) mają spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.

Moment pędu w fizyce klasycznej[edytuj | edytuj kod]

W fizyce klasycznej moment pędu ciała jest związany z jego ruchem obrotowym względem innych ciał lub wokół własnej osi. Np. Ziemia obracając się wokół Słońca posiada związany z tym moment pędu. Podobnie, z ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi wynika istnienie momentu pedu. Według klasycznej fizyki, jeżeli cząstka spoczywa i nie obraca się, to musi mieć zerowy moment pędu.

Moment pędu w fizyce kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Mechanika kwantowa odkryła, że cząstkom elementarnym trzeba przypisać oprócz zwykłego momentu pędu, znanego w fizyce klasycznej, również inny rodzaj moment pędu, który jest związany z obrotem w abstrakcyjnej przestrzeni spinowej. Cząstki posiadające spin mogą więc być w spoczynku i nie obracać się, a jednak zawsze posiadają spin.

Spin całkowity i połówkowy[edytuj | edytuj kod]

Liczby spinowe mogą przyjmować wartości z zakresu 0, 1/2, 1, 1+1/2, 2, ... itd. Cząstki posiadające liczbę spinową z zakresu 0, 1, 2, ... itd. przyjęto nazywać cząstkami o spinie całkowitym lub bozonami. Cząstki posiadające liczbę spinową 1/2, 1+1/2, 2+1/2, ...itd. przyjęto nazywać cząstkami o spinie połówkowym lub fermionami. Często też używa się terminu "cząstki o spinie 1/2" mając na myśli cząstki o liczbie spinowej 1/2.

Schemat przedstawia spin neutronu jako czarną strzałkę oraz pole magnetyczne związane z momentem nagnetycznym neutronu. Neutron ma ujemny moment magnetyczny. Gdy spin neutronu jest skierowany w górę, to linie pola magnetycznego w środku dipola są skierowane w dół.

Bozonami są np. fotony, cząstki W^+, W^-, Z^0. Fermionami są np. elektrony, protony, neutrony.

Ściany domen magnetycznych przesuwające się pod wpływm zewnętrznego pola magnetycznego - efekt kolektywnego oddziaływania spinów.

Związek spinu ze statystyką[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli mamy dużą liczbę cząstek tego samego rodzaju, to wykazują one ciekawe własności statystyczne, wynikające z identyczności cząstek kwantowych. Własności te zależą od spinu.

Np. Gaz złożony z bozonów tego samego rodzaju (np. fotony promieniowania we wnęce pieca) podlega statystyce Bosego-Einsteina. Cząsteczki gazu złożonego z fermionów podlegają statystyce Fermiego-Diraca. Związek ten jest szczególnym przypadkiem ogólnego związku spinu ze statystyką.

W ciele stałym lub cieczy (tj. w fazie skondensowanej) oddziaływanie spinów może prowadzić do zjawiska ferromagnetyzmu. Jest tak dlatego, że cząsteczki posiadające spin posiadają jednocześnie różny od zera moment magnetyczny, co oznacza że wytwarzają wokół siebie słabe pole magnetyczne, za pomocą którego oddziałują ze sobą.

Spin fotonu[edytuj | edytuj kod]

Foton jest kwantem energii fali elektromagnetycznej. Wiemy z optyki klasycznej, że fale te wykazują zjawisko polaryzacji. W opisie mechaniki kwantowej polaryzacja jest wynikiem spinu fotonu. Wartość liczby spinowej dla fotonu wynosi s=1. Rzut wektora spinu fotonu na kierunek jego propagacji jest równy zeru. Oznacza to, że wektor ten leży w płaszczyźnie prostopadłej do wektora falowego k propagacji fali elektromagnetycznej. Taka własność spinu tłumaczy, dlaczego fale elekromagnetyczne są falami poprzecznymi.

Opis matematyczny - spin 1/2[edytuj | edytuj kod]

Doświadczenie Sterna-Gerlacha pokazało, że pewne cząstki (np. elektrony) w polu magnetyczym przyjmują tylko dwa stany - zgodnie z polem lub przeciwnie do niego. Wynik ten jest sprzeczny z mechaniką klasyczną.

Matematycznie spin jest wielkością tensorową wprowadzoną przez mechanikę kwantową. Istnienie spinu wynika z symetrii funkcji falowej danej cząstki względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów jest skalarem (ma tylko jedną składową), funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2 (zapisujemy ją w postaci wektora o dwóch składowych), zaś funkcja falowa hipotetycznych grawitonów jest tensorem 2-go rzędu (zapisujemy go w postaci macierzy 3x3, ma 9 składowych).

W rozdziale tym omówimy przypadek spinu 1/2.

Z doświadczeń (analogicznych do doświadczenia Sterna-Gerlacha) wykonanych dla elektronu, protonu czy neutronu otrzymuje się zawsze dwa możliwe stany spinowe - zgodne ze zwrotem pola magnetycznego (stan "w górę") lub przeciwnie (stan "w dół") (zobacz rysunek obok).

Aby uzasadnić teoretycznie takie wyniku eksperymentu Pauli wprowadził operatory spinu S_x, S_y, S_z odpowiadające pomiarom spinu wzdłuż osi x, y, z wybranego układu współrzędnych

S_{i}=\frac{1}{2}\hbar \sigma_{i},\, i=x,y,z,

gdzie \sigma_{i}macierzami Pauliego

\sigma_{x}=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \sigma_{y}=\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \sigma_{z}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix},

Zgodnie z formalizmem matematycznym mechaniki kwantowej możliwe wyniki pomiaru oblicza się jako wartości własne operatora, odpowiadającego danemu pomiarowi, działającego na funkcję falową mierzonego układu.

W przypadku pomiaru spinu wynik pomiaru wzdłuż osi z jest jedną z możliwych wartości własnych, obliczoną z działania operatora S_z na spinową funkcję falową |\sigma\rangle (jest to tzw. równanie na wartości własne operatora spinu)

S_z |\sigma\rangle=s_z|\sigma\rangle

gdzie s_z - szukana wartość rzutu spinu na oś z.

Dwie możliwe wartości spinu \vec S mierzonego w kierunku pola \vec B= [0,0,B_z]. Wynik ten jest słuszny dla dowolnego ustawienia pola \vec B.

Równanie to posiada dwa rozwiązania s_z=-\frac{1}{2}\hbar oraz s_z=\frac{1}{2}\hbar, co oznacza, że rzut wektora spinu na oś z może przyjmować tylko dwie wartości - w górę osi z oraz w dół osi z. Identyczne wyniki uzyskamy dla opertorów S_x,S_y, odpowiadających pomiarom wzdłu osi x oraz y. Wartość bezwzględna współczynnika stojąca przy wartości \hbar wynosi 1/2 - stąd cząstki mające własność, iż w oddziaływaniu z polem magnetycznym zachowują się jak wyżej opisano nazywamy cząstkami o spinie 1/2. Liczbę s=1/2 nazywamy spinową liczbą kwantową.

Operatory S_x,S_y,S_z spełniają reguły komutacyjne (analogicznie jak operatory momentu pędu L_x,L_y,L_z, mierzące składowe momentu pędu w przestrzeni fizycznej lub generatory grupy obrotów)

[ S_x, S_y] = i \hbar S_z
[ S_z, S_x] = i \hbar S_y
[ S_y, S_z] = i \hbar S_x

Widzimy, że operatory te nie komutują ze sobą (tzn. komutatory są \ne 0), to oznacza, że jest możliwe jednoczesne określenie jedynie jednej z tych składowych. Wynik ten jest zgodny z tym, co obserwuje się w doświadczeniach.

Pauli zdefiniował też operator pomiaru spinu wzdłuż dowolnego kierunku: jeżeli wektor indukcji pola magnetycznego \vec Bma zwrot wyznaczony przez wektor \vec n, to operator ten ma postać

S_{\vec n}=\vec n \cdot \vec\sigma

gdzie

\vec\sigma = [\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z]

jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego. Ten ogólny operator posiada także dwie wartości własne

s_{\vec n}=-\frac{1}{2}\hbar oraz s_{\vec n}=\frac{1}{2}\hbar. Jest to zgodne z doświadczeniem - wykonując pomiary z polem magnetycznym ustawionym w dowolnym kierunku zawsze otrzymuje się dwa możliwe wyniki.

Oprócz wyżej zdefiniowanych operatorów można zdefiniować operator kwadratu spinu

S^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2

Operator ten komutuje z dowolną ze składowych spinu, np.

[S^2,S_x]=0,

co odpowiada fizycznie możliwości określenia w pomiarze wartości wektora spinu.

Długość wektora spinu określa wartość mierzoną:

S=\sqrt{(S_x^2+S_y^2+S_z^2)}

Operator ten określa wartość całkowitą spinu

\text{S}=\hbar\sqrt{s(s+1)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\hbar

Operator spinu S komutuje z operatorem pędu p. Fizycznie oznacza to, że można zmierzyć jedną z składowych spinu wraz z pomiarem jednej ze składowych wektora pędu.

Kwadrat operatora spinu S^2 nie jest niezmiennikiem relatywistycznym. Właściwym operatorem Casimira dla grupy Poincarégo jest kwadrat pseudowektora Pauliego-Lubańskiego, który jest związany z operatorem kwadratu całkowitego momentu pędu L^2. Zaś operator kwadratu spinu S^2 jest przykładem operatora Casimira w teorii algebr Liego, które są zwiazane z grupą obrotów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  •  R. L. Liboff: Wstęp do mechaniki kwantowej. Warszawa: PWN, 2013, str. 164–180.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Frank Laloë, Quantum Mechanics, Vol. I, 1991. Wiley, New-York, ISBN 0-471-16433-1, str. 386-454.