Moment pędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Moment pędu (kręt) – wektorowa wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza jego ruch obrotowy.

W mechanice klasycznej[edytuj]

Zależności między siłą F, momentem siły τ, pędem p oraz momentem pędu L.
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Moment pędu punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa

gdzie θ oznacza kąt między wektorami r i p.

Dla ciała o momencie bezwładności I obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem

Zachowanie momentu pędu[edytuj]

i-tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem

gdzie εijk jest symbolem Leviego-Civity. W mechanice klasycznej składowe momentu pędu komutują ze sobą (są antyprzemienne), przy czym komutatorem jest nawias Poissona

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; zasada zachowania momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni (zob. grupa obrotów), która zachowuje długość wektora (gdyż jest izometrią). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał U zależy wyłącznie od odległości r. Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się siłą centralną. Dla tego rodzaju sił zachodzi

co jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości r ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej płaszczyzną ekliptyki.

W mechanice kwantowej[edytuj]

W mechanice kwantowej operator momentu pędu definiuje się analogicznie do momentu pędu mechaniki klasycznej

przy czym oznacza tu operator pędu

Operator momentu pędu spełnia analogiczne reguły komutacyjne jak moment pędu w mechanice klasycznej, jednak nie dla nawiasu Poissona, a dla komutatora:

Kwadrat operatora momentu pędu jest przemienny (co oznacza, że jest jednocześnie mierzalny) ze wszystkimi składowymi operatora momentu pędu, tzn.

Analogicznie do przypadku klasycznego, komutator składowej operatora momentu pędu z operatorem hamiltona znika gdy moment pędu jest zachowywany, tj.

Konsekwencją tej symetrii jest prawo zachowania momentu pędu i jednoczesna mierzalność energii, kwadratu momentu pędu i jednej z jego składowych (zwykle przyjmuje się układ współrzędnych walcowych i wybiera niezerową współrzędną). We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu ma postać:

zaś

Równanie własne

daje wartości własne i funkcję własne

jako harmoniki sferyczne.

Magnetyczna liczba kwantowa m przyjmuje z przedziału . Dla tych wartości widmo operatora , jak również operatora energii H jest zdegenerowane, tzn. nie zależy od m – ta konsekwencja symetrii nazywana jest w mechanice kwantowej zdegenerowaniem widma operatora energii.

Zobacz też[edytuj]