Moment pędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Moment pędu (kręt) – wektorowa wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza jego ruch obrotowy.

W mechanice klasycznej[edytuj]

Zależności między siłą F, momentem siły τ, pędem p oraz momentem pędu L.

Moment pędu punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu:

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa:

gdzie θ oznacza kąt między wektorami r i p.

Dla ciała o momencie bezwładności I obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem:

Zachowanie momentu pędu[edytuj]

i-tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem:

gdzie εijk jest symbolem Leviego-Civity. W mechanice klasycznej składowe momentu pędu komutują ze sobą (są antyprzemienne), przy czym komutatorem jest nawias Poissona

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; zasada zachowania momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni (zob. grupa obrotów), która zachowuje długość wektora (gdyż jest izometrią). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał U zależy wyłącznie od odległości r. Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się siłą centralną. Dla tego rodzaju sił zachodzi:

co jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości r ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej płaszczyzną ekliptyki.

W mechanice kwantowej[edytuj]

Operator momentu pędu i jego składowe kartezjańskie[edytuj]

W mechanice kwantowej operator momentu pędu definiuje się dokonując kwantyzacji wektora momentu pędu mechaniki klasycznej, tj. zamienia się wektor momentu pędu

na operator, zastępując wektory operatoramiː , . Stąd mamyː

,

W reprezentacji położeniowej operatory mają postać (tzw. reguły Jordana)

, gdzie - operator nabla

Stąd otrzymuje sięː

Po obliczeniu wyznacznika otrzymuje

Operator jest więc operatorem wektorowym w postaci

przy czym składowe operatora mają postać

Reguły komutacyjne dla składowych operatora [edytuj]

Można sprawdzić, że składowe operator momentu pędu spełniają reguły komutacyjne

,
tj. dla przykładu
, ,
ale

Niezerowanie się komutatorów oznacza, że nie jest możliwe jednoczesne zmierzenie wszystkich trzech składowych momentu pędu układu kwantowomechanicznego - w danym eksperymencie można zmierzyć tylko jedną z nich.

Metoda ogólna kwantowania[edytuj]

Warto zauważyć, że powyższy wynik obliczania komutatorów dla operatorów składowych moment pędu jest analogiczny do wyniku obliczania nawiasów Poissona dla składowych moment pędu mechaniki klasycznej. Ta obserwacja doprowadziła do odkryci ogólnej metody otrzymywania operatorów kwantowomechanicznych, która polega na nałożeniu warunków, iż operatory mechaniki kwantowej powinny spełniać reguły komutacyjne analogiczne do reguł, jakie spełniają ich odpowiedniki klasyczne, gdy liczy się ich nawiasy Poissona.

Kwadrat operatora momentu pędu[edytuj]

Kwadrat operatora momentu pędu definiuje się jako sumę kwadratów składowych operatora momentu pędu , tj.

Komutatory operatora momentu pędu i jego składowych[edytuj]

Kwadrat operatora momentu pędu jest przemienny ze wszystkimi składowymi operatora momentu pędu, tzn.:

Oznacza to, że możliwe jest jednoczesne zmierzenie wartości momentu pędu i jednej z jego składowych.

Komutatory operatora momentu pędu i jego składowych z operatorem Hamiltona[edytuj]

Jeżeli komutator składowej operatora momentu pędu z operatorem Hamiltona zeruje się, tj.:

to oznacza, że dana składowa momentu pędu jest zachowywana. Podobnie, jeżeli komutator kwadratu operatora momentu pędu z operatorem Hamiltona zeruje się, tj.

to oznacza, że całkowity momentu pędu jest zachowywany i możliwy jest jednoczesny pomiar energii i momentu pędu układu. Oczywiście, wynik ten zależy od tego, jaki układ rozpatruje się - od rodzaju układu i pól na układ działających zależy bowiem postać operatora Hamiltona.

Funkcje własne i wartości własne operatora momentu pędu[edytuj]

We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu ma postać:

gdzie:
- operator Laplace'a

Z rozwiązania równania własnego operatora

otrzymuje się:

(a) wartości własne , gdzie

(b) funkcje własne , którymi są tzw. harmoniki sferyczne; harmoniki te zależą nie tylko od liczby , ale też od liczby , przy czym przyjmuje wartości ze zbioru . Wartości własne operatora momentu pędu od wartości liczby , a nie zależą od - jest to konsekwencją niezmienniczości praw fizyki ze względu na symetrię obrotową. Własność ta nazywana jest w mechanice kwantowej zdegenerowaniem widma operatora momentu pędu.

Degeneracja poziomów energii i jej usunięcie[edytuj]

Także wartości własne operatora energii będą zależne od wartości liczby , a nie będą zależeć od , jeżeli energia potencjalna układu będzie sferycznie symetryczna. Wtedy też pojawi się degeneracja poziomów energii układu.

Jeżeli jednak wprowadzi się asymetrię w układzie, np. atom znajdzie się w zewnętrznym polu magnetycznym, to operator Hamiltona straci symetrię sferyczną. Rozwiązując równanie Schrödingera dla takiego układu otrzyma się w konsekwencji rozszczepienie każdego z poziomów energii atomu na na podpoziomów i degeneracja zniknie. Liczbę nazywa się z powyżej opisanych racji magnetyczna liczbą kwantową.

Zobacz też[edytuj]