Współrzędna cykliczna

Współrzędna cykliczna – jeżeli w hamiltonianie postaci $H(q_{1},\dots ,q_{n};\ p_{1},\dots ,p_{n})$ nie występuje explicite dana współrzędna uogólniona $q_{i},$ to nazywa się ona współrzędną cykliczną. Pęd $p_{i}$ związany z tą współrzędną jest wtedy całką ruchu, czyli jest stały w czasie ruchu.

Współrzędne cykliczne i twierdzenie Poincarégo o powrocie

Niech wszystkie współrzędne w hamiltonianie będą cykliczne i niech będą zmiennymi typu działanie-kąt, tzn. takimi jak kąt i moment pędu w rotorze $(H=J^{2}/2).$ Wtedy mamy

$p_{i}=J_{i}=const,$

$q_{i}=\phi _{i}=J_{i}t+const.$

Jeśli $\phi _{i}$ mają znaczenie fizycznych kątów, wtedy po czasie $2\pi 10^{n},$ gdzie $n$ jest dokładnością numeryczną $J_{i},$ ($J_{i}$ jako ułamek $k/10^{n}$), powrócą one do całkowitej wielokrotności kąta pełnego, a więc system dynamiczny powróci do swojego stanu początkowego po tym czasie. Im większe $n,$ tym dłuższy czas $t.$ Wyraża to treść twierdzenia Poincarégo, że po dostatecznie długim czasie każdy układ dynamiczny powraca dostatecznie blisko stanu początkowego. Kwantowym odpowiednikiem twierdzenia Poincarégo jest tzw. pełne ożywienie kwantowe funkcji falowej.

Przykład

W ruchu w potencjale grawitacyjnym hamiltonian ma postać:

$H(r,\theta ,\phi ;p_{r},p_{\theta },p_{\phi })={\frac {GMm}{r}}+{\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+r^{2}{\frac {p_{\theta }^{2}}{2m}}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\frac {p_{\phi }^{2}}{2m}}.$

W tym przypadku współrzędną cykliczną jest $\phi ,$ natomiast pęd $p_{\phi }$ jest całką ruchu – można go związać z momentem pędu w kierunku $z,$ który jest wielkością stałą w tym ruchu.