Hamiltonian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny.

H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right)

gdzie q_j oznaczają współrzędne uogólnione, p_j pędy uogólnione, N liczbę stopni swobody, a t czas.

Wykorzystując hamiltonian można zapisać m.in. równania Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Sformułowanie lagranżowskie[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange'a

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)

gdzie:

  • q_j - współrzędna uogólniona,
  • \dot q_j prędkość uogólniona,
  • t czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako

p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}

W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom.

We współrzędnych walcowych pęd uogólniony odpowiadający prędkości kątowej jest momentem pędu cząstki.

W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Hamiltonian można teraz znaleźć z funkcji Lagrange'a za pomocą tzw. transformacji Legendre'a

H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych w funkcji Lagrange'a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Królikowski, W. RubinowiczMechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  2. L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.