Hamiltonian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny

gdzieː

współrzędne uogólnione,
– pędy uogólnione,
– liczba stopni swobody,
– czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji Hamiltona[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

  • z wyrażenia na energię całkowitą układu,
  • z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),

przy czym należy zastępując prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialny[edytuj | edytuj kod]

(1) Jeżeli cząstka o masie porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

Ponieważ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

Oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ma postać

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

gdzie:

– współrzędna uogólniona,
– prędkość uogólniona,
– czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionych[edytuj | edytuj kod]

1) W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.

2) We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.

3) W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]