Hamiltonian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – w klasycznej mechanice teoretycznej funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right)

gdzie q_j oznaczają współrzędne uogólnione, p_j pędy uogólnione, N liczbę stopni swobody, a t czas.

Wykorzystując hamiltonian można zapisać m.in. równania Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego. W mechanice kwantowej odpowiada mu operator Hamiltona.

Sformułowanie lagranżowskie[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z lagranżjanu.

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)

gdzie q_j oznacza współrzędne uogólnione, \dot q_j prędkości uogólnione, t czas. Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako

p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}

W szczególnym przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom. We współrzędnych walcowych pęd odpowiadający prędkości kątowej odpowiada momentowi pędu. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

W tym ujęciu hamiltonian definiowany jest jako transformacja Legendre'a lagranżjanu, tzn.

H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )

Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.