Hamiltonian

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych

$H=H\left(q_{1},\dots ,q_{N},p_{1},\dots ,p_{N},t\right),$

gdzie:

$q_{j}$ – współrzędne uogólnione,

$p_{j}$ – pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej),

$N$ – liczba stopni swobody,

$t$ – czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji Hamiltona

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

• z wyrażenia na energię całkowitą układu,
• z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),

przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialny

(1) Jeżeli cząstka o masie $m$ porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale $V,$ to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

$E={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+V(\mathbf {q} ).$

Ponieważ $\mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}},$ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} ).$

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

$E={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}.$

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}.$

Oscylator harmoniczny

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku $x$ ma postać

$E={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}x^{2}.$

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

${\mathcal {H}}(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}x^{2}.$

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},\dots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{N},t),$

gdzie:

$q_{j}$ – współrzędna uogólniona,

${\dot {q}}_{j}$ – prędkość uogólniona,

$t$ – czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej ${\dot {q}}_{j}$ wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony $p_{j}$(tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej ${\dot {q}}_{j}$

$p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.$

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

$H\left(q_{1},\dots ,q_{N},p_{1},\dots ,p_{N},t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},\dots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{N},t),$

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionych

• W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.
• We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.
• W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie mieć prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Bibliografia

• W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
• L.D.L.D. Landau L.D.L.D., E.M.E.M. Lifszyc E.M.E.M., Mechanika, Warszawa: PWN, 2011 .brak strony (książka)