Hamiltonian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – w klasycznej mechanice teoretycznej funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny.

H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right)

gdzie q_j oznaczają współrzędne uogólnione, p_j pędy uogólnione, N liczbę stopni swobody, a t czas.

Wykorzystując hamiltonian można zapisać m.in. równania Hamiltona i równanie Hamiltona-Jacobiego. W mechanice kwantowej odpowiada mu operator Hamiltona.

Sformułowanie lagranżowskie[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z lagranżjanu.

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)

gdzie q_j oznacza współrzędne uogólnione, \dot q_j prędkości uogólnione, t czas. Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako

p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}

W szczególnym przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom. We współrzędnych walcowych pęd odpowiadający prędkości kątowej odpowiada momentowi pędu. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

W tym ujęciu hamiltonian definiowany jest jako transformacja Legendre'a lagranżjanu, tzn.

H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )

Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.