Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających l1

Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ₁ – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że każdy ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha zawiera podciąg, który jest słabym ciągiem Cauchy’ego bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ℓ₁. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni Banacha oraz w 1975 przez Leonarda Dora dla przestrzeni zespolonych.

Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia

Słabe ciągi Cauchy’ego

Ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ elementów przestrzeni Banacha nazywany jest słabym ciągiem Cauchy’ego gdy dla każdego funkcjonału $f\in X^{*}$ istnieje granica

$\lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle$.

Każdy ciąg zbieżny w słabej topologii jest słabym ciągiem Cauchy’ego, ale nie odwrotnie. W przestrzeni c₀ ciąg

$x_{n}=(\underbrace {1,1,\dots ,1} _{n},0,0,0\dots )\quad (n\in \mathbb {N} )$

jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego elementu $(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in \ell _{1}\cong c_{0}^{*}$ zachodzi

$\langle (\xi _{k})_{k=1}^{\infty },x_{n}\rangle =\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}\to \sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k},$

gdy $n\to \infty ;$ ciąg ten nie jest jednak słabo zbieżny.

Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ₁

Dla każdego ograniczonego ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ elementów przestrzeni Banacha, z nierówności trójkąta wynika, że dla każdego skończonego ciągu skalarów $(c_{j})_{j=1}^{k}$ zachodzi

$\|\sum _{j=1}^{k}c_{j}x_{j}\|\leqslant \sum _{j=1}^{k}\|c_{j}x_{j}\|\leqslant \sum _{j=1}^{k}|c_{j}|\cdot M,$

gdzie:

$M=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|x_{n}\|.$

Ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni $\ell _{1},$ gdy istnieje takie $\delta >0,$ że dla każdego skończonego ciągu skalarów $(c_{j})_{j=1}^{k}$ zachodzi także nierówność

$\|\sum _{j=1}^{k}c_{j}x_{j}\|\geqslant \sum _{j=1}^{k}|c_{j}|\cdot \delta$.

Baza kanoniczna

$e_{n}=(0,0,0,\dots ,\underbrace {1} _{n},0,0,0\dots )\quad (n\in \mathbb {N} )$

przestrzeni $\ell _{1}$ (ani żaden inny ciąg jej równoważny) nie jest słabym ciągiem Cauchy’ego ponieważ dla każdego ciągu $(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in \ell _{\infty }\in \ell _{1}^{*},$ który nie jest zbieżny ciąg

$\langle (\xi _{k})_{k=1}^{\infty },e_{n}\rangle =\xi _{n}$

nie ma granicy.

Bibliografia

• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.brak strony w książce
• F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.brak strony w książce
• Pei-Kee Lin: Köthe-Bochner Function Spaces. Birkhäuser Basel, 2004. ISBN 978-0-8176-3521-3.brak strony w książce