Funkcja ograniczona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja ograniczonafunkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.

Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.

Ograniczoność z góry i z dołu[edytuj | edytuj kod]

Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

Ciągi ograniczone[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.

Topologia i analiza funkcjonalna[edytuj | edytuj kod]

Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości funkcji.

Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [-1, 1].
  • Funkcje f(x) = x,\; g(x) = x^2 są nieograniczone. Funkcja kwadratowa g(x) = x^2 jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
  • Ciąg 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (0, 1].
  • Ciąg 1, 2, 3, 4, \dots choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
  • Ciąg -1, -3, -5, -7, \dots nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.