Funkcja ograniczona

Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.

Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.

Ograniczoność z góry i z dołu

Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

Ciągi ograniczone

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.

Topologia i analiza funkcjonalna

Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości.

Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.

Przykłady

• Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału $[-1, 1]$.
• Funkcje $f(x) = x,\; g(x) = x^2$ są nieograniczone. Funkcja kwadratowa $g(x) = x^2$ jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
• Ciąg $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots$ jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału $(0, 1]$.
• Ciąg $1, 2, 3, 4, \dots$ choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
• Ciąg $-1, -3, -5, -7, \dots$ nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.