Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Algorytm linearyzacji statycznej – jeden z algorytmów służących do sterowania manipulatorem elastycznym . Pozwala on zamienić nieliniowy układ w poczwórny integrator.
Model manipulatora zapisany jest jako:
M
1
q
1
″
+
C
q
1
′
+
D
1
+
K
(
q
1
−
q
2
)
=
0
{\displaystyle M_{1}q_{1}^{''}+Cq_{1}^{'}+D_{1}+K(q_{1}-q_{2})=0}
I
q
2
″
+
K
(
q
2
−
q
1
)
=
u
{\displaystyle Iq_{2}^{''}+K(q_{2}-q_{1})=u}
Powyższy model można zapisać także w innej postaci. W tym celu wprowadza się nowe zmienne:
x
1
=
q
1
,
{\displaystyle x_{1}=q_{1},}
x
2
=
q
1
′
,
{\displaystyle x_{2}=q_{1}^{'},}
x
3
=
q
2
,
{\displaystyle x_{3}=q_{2},}
x
4
=
q
2
′
,
{\displaystyle x_{4}=q_{2}^{'},}
a następnie wyznacza się ich pochodne (wzory zostały uproszczone, aby nie komplikować zapisu):
x
1
′
=
x
2
{\displaystyle x_{1}^{'}=x_{2}}
x
2
′
=
F
(
x
1
,
x
2
)
+
H
1
(
x
1
)
x
3
{\displaystyle x_{2}^{'}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3}}
x
3
′
=
x
4
{\displaystyle x_{3}^{'}=x_{4}}
x
4
′
=
H
2
(
x
1
,
x
3
)
+
I
−
1
u
.
{\displaystyle x_{4}^{'}=H_{2}(x_{1},x_{3})+I^{-1}u.}
W kolejnym kroku wprowadzane są współrzędne linearyzujące .
ξ
1
=
x
1
,
{\displaystyle \xi _{1}=x_{1},}
ξ
2
=
x
2
,
{\displaystyle \xi _{2}=x_{2},}
ξ
3
=
F
(
x
1
,
x
2
)
+
H
1
(
x
1
)
x
3
,
{\displaystyle \xi _{3}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3},}
ξ
4
=
H
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
+
H
1
(
x
1
)
x
4
.
{\displaystyle \xi _{4}=H_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})+H_{1}(x_{1})x_{4}.}
Podobnie jak wcześniej wyznaczane są ich pochodne:
ξ
1
′
=
x
1
′
=
x
2
=
ξ
2
,
{\displaystyle \xi _{1}^{'}=x_{1}^{'}=x_{2}=\xi _{2},}
ξ
2
′
=
x
2
′
=
ξ
3
,
{\displaystyle \xi _{2}^{'}=x_{2}^{'}=\xi _{3},}
ξ
3
′
=
ξ
4
,
{\displaystyle \xi _{3}^{'}=\xi _{4},}
ξ
4
′
=
H
4
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
+
H
1
(
x
1
)
I
−
1
u
.
{\displaystyle \xi _{4}^{'}=H_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+H_{1}(x_{1})I^{-1}u.}
Na koniec wprowadzane jest sprzężenie, którego zadaniem będzie pozbycie się nieliniowości ze wzoru na
ξ
4
′
:
{\displaystyle \xi _{4}^{'}{:}}
u
=
I
K
−
1
M
1
−
1
[
−
H
4
+
v
]
,
{\displaystyle u=IK^{-1}M_{1}^{-1}[-H_{4}+v],}
gdzie
v
{\displaystyle v}
Uzyskiwany jest w ten sposób układ zapisany jako:
ξ
1
′
=
x
1
′
=
x
2
=
ξ
2
,
{\displaystyle \xi _{1}^{'}=x_{1}^{'}=x_{2}=\xi _{2},}
ξ
2
′
=
x
2
′
=
ξ
3
,
{\displaystyle \xi _{2}^{'}=x_{2}^{'}=\xi _{3},}
ξ
3
′
=
ξ
4
,
{\displaystyle \xi _{3}^{'}=\xi _{4},}
ξ
4
′
=
v
.
{\displaystyle \xi _{4}^{'}=v.}
Jest to poczwórny integrator (układ składający się z czterech modułów całkujących).
Zadaniem układu jest śledzenie zadanej trajektorii , tzn.
e
=
q
1
−
q
1
d
→
0.
{\displaystyle e=q_{1}-q_{1d}\to 0.}
v
{\displaystyle v}
e
(
4
)
+
K
3
e
(
3
)
+
K
2
e
(
2
)
+
K
1
e
(
1
)
+
K
0
e
=
0.
{\displaystyle e^{(4)}+K_{3}e^{(3)}+K_{2}e^{(2)}+K_{1}e^{(1)}+K_{0}e=0.}
W tym przypadku wartości
K
i
{\displaystyle K_{i}}
twierdzenia Hurwitza .
K.Tchoń, A.Mazur, I.Dulęba, R.Hossa, R.Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie , Warszawa 2000 (ISBN 83-7101-427-9 ). 
![{\displaystyle u=IK^{-1}M_{1}^{-1}[-H_{4}+v],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5da9d1a80d1f4adce40dcd8530b791e40d5c7f)
