Dedukcja naturalna

Dedukcja naturalna – bardzo intuicyjny i generujący dowody system dowodzenia twierdzeń, bazujący na systemach Hilberta.

Dowód to lista formuł objętych oknami.

Operacje w bardzo prostej wersji to:

• dodanie założenia, otwiera to okno,
• przepisanie dowolnego aktywnego założenia,
• zamknięcie okna, dodaje się za oknem formułę „pierwsza formuła okna $\supset$ ostatnia formuła okna”, wszystkie formuły w oknie są dezaktywowane,
• użycie jednej z reguł dowodzenia (w szczególności modus ponens na dowolnych aktywnych) na dowolnych aktywnych formułach.

Każda formuła leżąca poza oknem, zwykle powstała w wyniku zamknięcia ostatniego okna, jest twierdzeniem.

Okna są wyłącznie graficzną reprezentacją tego co się dzieje.

Przykład

Udowodnijmy, że $P\supset (Q\supset P).$

1. $P$ (założenie) 2. $Q$ (założenie) 3. $P$ (przepisanie aktywnej formuły 1) 4. $Q\supset P$ (eliminacja założenia 2, dezaktywacja 2 i 3)

5. $P\supset (Q\supset P)$ (eliminacja założenia 1, dezaktywacja 1 i 4)

Dowód tego bardzo prostego twierdzenia jest – właśnie bardzo prosty, co nie zawsze jest prawdą w przypadku innych systemów dowodzenia.

Bardziej rozbudowane wersje

Przedstawiona tu wersja potrafi tylko dodawać i eliminować implikacje. Bardziej rozbudowane wersje zajmują się też innymi spójnikami, dodając nowe reguły wyprowadzania formuł i zamykania okien.