Funkcje lemniskaty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje lemniskaty są szczególnym przykładem funkcji eliptycznych, powstające przez odwrócenie całki eliptycznej

z = \int\limits_{0}^{u} \frac {dt}{\sqrt{1 - t^4}}.

Całki te pojawiły się po raz pierwszy przy obliczeniu długości łuku lemniskaty Bernoulliego w pracach G. Fagnano z 1715 roku. Funkcje lemniskaty wprowadził Carl Friedrich Gauss w 1797 roku.


Są dwie funkcje lemniskaty:

u = \operatorname{cos lemn} z = \operatorname{cl} z,
u = \operatorname{sin lemn} z = \operatorname{sl} z = \operatorname{cl} \Big({\frac{\omega}{2} - z} \Big),

gdzie

 \frac{\omega}{2} = \int\limits_{0}^{1} \frac {dt}{\sqrt{1 - t^4}} = \frac{\sqrt {2}}{8 \sqrt{\pi}} \Big[ \Gamma \Big( \frac{1}{4} \Big) \Big]^2[1].


Przypisy

  1. И. М. Виноградов (red.): Математическая энциклопедия. T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 234.