Intensywność umieralności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

intensywność umieralności (natężenie wymierania, ang. force of mortality) – w matematyce ubezpieczeniowej, wielkość wyrażająca śmiertelność dla danego wieku

\mu_{x}
    =\lim_{\Delta x\to0}\frac{Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)}{\Delta x}.
    \;

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia s(x) (s(x) – prawdopodobieństwo, że noworodek dożyje wieku x)


    Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)=\frac{s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)}.
    \;

Po podstawieniu otrzymuje się

\mu_{x}
    =\lim_{\Delta x\to0}\frac{s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)\Delta x}
    =-\frac{s'(x)}{s(x)}
    =-\frac{d}{dx}\ln s(x).
    \;

Intensywność umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw oznaczanych w naukach aktuarialnych symbolem {}_{t}p_{x} ({}_{t}p_{x} – prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje t lat)

\mu_{x+t}
    =-\frac{\frac{d}{dt}{}_{t}p_{x}}{{}_{t}p_{x}}
    =-\frac{d}{dt}\ln{}_{t}p_{x}
    \;

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.)
  • Hans U. Gerber: Life insurance mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-52944-6. (ang.)
  • Mariusz Skałba: Ubezpieczenia na życie. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2460-7. (pol.)