Intensywność umieralności

intensywność umieralności (natężenie wymierania, ang. force of mortality) – w matematyce ubezpieczeniowej, wielkość wyrażająca śmiertelność dla danego wieku

$\mu_{x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)}{\Delta x}. \;$

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia $s(x)$ ($s(x)$ – prawdopodobieństwo, że noworodek dożyje wieku $x$)

$Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)=\frac{s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)}. \;$

Po podstawieniu otrzymuje się

$\mu_{x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)\Delta x} =-\frac{s'(x)}{s(x)} =-\frac{d}{dx}\ln s(x). \;$

Intensywność umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw oznaczanych w naukach aktuarialnych symbolem ${}_{t}p_{x}$ (${}_{t}p_{x}$ – prawdopodobieństwo, że $x$-latek przeżyje $t$ lat)

$\mu_{x+t} =-\frac{\frac{d}{dt}{}_{t}p_{x}}{{}_{t}p_{x}} =-\frac{d}{dt}\ln{}_{t}p_{x} \;$

Bibliografia

• Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.)
• Hans U. Gerber: Life insurance mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-52944-6. (ang.)
• Mariusz Skałba: Ubezpieczenia na życie. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2460-7. (pol.)