Metoda iteracji

Metoda iteracji prostej – metoda obliczania miejsca zerowego $x^{*}$ funkcji $f(x)$ ciągłej w przedziale izolacji $[a,b],$ czyli pierwiastka równania $f(x)=0.$ Równanie to można zapisać inaczej

$x=\varphi (x),\quad {}$ gdzie ${}\;\varphi (x)=x+\alpha f(x).$

Metoda polega na tworzeniu ciągu liczbowego $C=x_{0},x_{1},\dots x_{n}$ zgodnie z regułą iteracyjną (rekurencyjną)

$x_{n+1}=\varphi (x_{n})\quad {}$ dla ${}\;n=0,1,2,\dots$

Zbieżność procesu iteracyjnego do granicy $x^{*}\in [a,b]$ zależy od właściwego wyboru wartości parametru $\alpha$ oraz spełnienia warunków

$x_{0}\in [a,b],\quad f(a)\cdot f(b)<0\quad {}$ oraz ${}\quad |\varphi ^{'}(x)|<1\quad {}$ dla ${}\;x\in [a,b].$

Opisany proces iteracyjny może być uogólniony na przypadek układu równań o postaci

$f_{i}({\vec {x}})=0,\quad i=1,2,\dots n,\quad {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n}).$

Równania te można zapisać inaczej

$x_{i}=\varphi _{i}({\vec {x}}),\quad {}$ gdzie $\varphi _{i}({\vec {x}})=x_{i}+\alpha _{i}f_{i}({\vec {x}}),\quad i=1,2,\dots n.$

Rekurencyjna formuła iteracyjna przybiera postać

${\vec {x}}^{(m+1)}=\varphi ({\vec {x}}^{(m)}),\quad m=0,1,2,\dots$

Zbieżność procesu iteracyjnego zależy od właściwego wyboru wartości parametrów $\alpha _{i}$ i spełnienia następujących warunków

${\vec {x}}^{(0)}\in U^{n},\quad {\bigg |}{\frac {\partial \varphi _{i}({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}{\bigg |}<1,\quad i=0,1,2,\dots ,n,\quad {\vec {x}}\in U^{n},$

gdzie przez $U^{n}\!\subset R^{n}$ oznaczono dostatecznie mały obszar izolacji rozwiązania ${\vec {x}}^{*}$ będącego granicą ciągu ${\vec {x}}^{(0)},{\vec {x}}^{(1)},{\vec {x}}^{(2)},\dots$ Określenie tego obszaru nie jest łatwe, ale konieczne dla zapewnienia zbieżności iteracji do poszukiwanego rozwiązania. Wymaga to dostatecznie szczegółowej analizy wstępnej.

Bibliografia

• Olszowski B.: Wybrane metody numeryczne. Kraków: Politechnika Krakowska, 2007, s. 86–92.