Funkcja

Funkcja (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”; pojęcie wprowadzone prawdopodobnie przez Leibniza w 1692 r.) – w matematyce dla danych dwóch zbiorów przyporządkowanie każdemu elementowi pierwszego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, jednak pierwszą ogólną definicję funkcji podał dopiero w 1718 r. matematyk szwajcarski Johann Bernoulli.

Pełną definicję funkcji (jako przyporządkowania) pierwszy sformułował matematyk niemiecki Peter Gustav Lejeune Dirichlet w 1837 r. Dzisiaj pojęcie funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki.

Definicja

Intuicyjna definicja funkcji jako przyporządkowania jest używana również dzisiaj, np. w podręcznikach wprowadzających do analizy matematycznej. Jest ona wystarczająca dla dużej liczby zastosowań, lecz używa pojęcia „przyporządkowania”, którego sens trudno oddać formalnie. Poniżej podano definicję, nie zawierającą takiej nieścisłości.

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywa się podzbiór iloczynu kartezjańskiego $W \subseteq X \times Y$ (relację dwuargumentową) spełniający warunki

$\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\; (x,y)\in W,$

$\forall_{x \in X}\; \forall_{y \in Y}\; \forall_{z \in Y}\; (x,y)\in W \and (x,z)\in W \Rightarrow y = z,$

czyli

każdy element zbioru X musi być w relacji z dokładnie jednym elementem zbioru Y.

Zbiór X nazywa się dziedziną, a zbiór Y – przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór W nazywa się wykresem funkcji f.

Jeżeli $x \in X,$ to element y dla którego $(x, y)\in W,$ nazywa się wartością funkcji dla elementu (w punkcie) x, co zapisuje się f(x) = y. Z definicji wynika, że y jest wyznaczone jednoznacznie. Dla $x \notin X$ symbol f(x) jest nieokreślony.

Przy określaniu funkcji należy podać przeciwdziedzinę, ponieważ nie wyznacza jej zbiór W. Jednak często (np. w teorii mnogości) funkcje i ich wykresy są utożsamiane; wówczas podanie przeciwdziedziny nie jest wymagane. Niekiedy funkcję definiuje się jako trójkę uporządkowaną $(X,\ Y,\ f)$; przy takiej definicji, funkcje o różnych przeciwdziedzinach uważa się za różne.

Zbiór wszystkich funkcji $f\colon X \to Y$ oznacza się często $Y^X\;$ Wtedy:

• dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f,
• przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji,
• element x to argument funkcji,
• element y to wartość funkcji,
• mówi się także, że f jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y,
• element y jest obrazem elementu x w przekształceniu f,
• jeżeli $f\colon X \to Y$, to $f(X) \subset Y$, gdzie $f(X) = \{y\colon y = f(x), x \in X\}$; jeśli f(X) = Y, to funkcja f jest odwzorowaniem na zbiór Y.

W matematyce określenia funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator, działanie, itd. są zwykle synonimami. Jednakże w różnych dyscyplinach matematycznych preferowane jest używanie niektórych z nich, znaczenie niektórych zostało zaś zawężone. Użycie konkretnej nazwy podyktowane jest dzisiaj przede wszystkim względami historycznymi. Choć w analizie matematycznej rozpatruje się przede wszystkim funkcje, to w geometrii, algebrze liniowej mówi się o przekształceniach (przekształceniach liniowych), w algebrze uniwersalnej rozważa się z kolei działania, zaś w analizie funkcjonalnej bada się własności operatorów, czy funkcjonałów.

Funkcja jako związek między zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi x i y, gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru X, a druga przyjmuje wartości ze zbioru Y; wtedy x nazywa się zmienną niezależną, a y - zmienną zależną. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej x oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej y oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej x. Na przykład droga s w ruchu jednostajnym o prędkości v jest zależna od czasu t ruchu i wyraża się wzorem

s = v · t.

W praktyce często się zdarza, że zbiór X jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych x₁, ..., x_n. Mówimy wtedy, że zmienna y jest funkcją zmiennych x₁, ..., x_n. Na przykład siła F działająca na ciało jest zależna od masy m ciała i jego przyspieszenia a:

F = m · a.

Wykres funkcji

Wykresem funkcji $f\colon X \to Y$ nazywa się zbiór $W_f = \{(x, y) \in X \times Y: y = f(x)\}$. Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_0 \in X\;$ istnieje dokładnie jeden taki $y_0 \in Y\;$, że $(x_0, y_0) \in W_f$. Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_0, y_0) \in W_f$, to $y_0 = f(x_0)\;$, przy czym $y_0\;$ jest jedynym takim elementem.

Definicja Peano funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peano :

Relacja $R \subset X \times Y$ jest funkcją, jeśli

$\forall_{x, y_1, y_2} [x R y_1 \wedge x R y_2 \Rightarrow (y_1 = y_2)]$.

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Przykłady funkcji jako zależności między zmiennymi

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

• ruch ciał fizycznych opisywany jest przez drogę s, prędkość v i przyspieszenie a, które są funkcjami czasu

$s =s_0 + v t\;$, $v = v_0 + a t\;$, $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ lub $s = s_0 + v t + \frac{at^2}{2}$

• z drugiej strony czas można rozpatrywać jako funkcję drogi (w ruchu jednostajnym),

$t = \frac{s}{v}$

• pojęcie siły F tak bardzo istotne w dynamice Newtona jest funkcją masy i przyspieszenia ciała; jest to zatem funkcja dwóch zmiennych,

$F = m a\;$

• praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała,

$W = F s\;$

• energia może być zależna od różnych wielkości; energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T

$E = \frac{mv^2}{2}$, $E = mgh\;$, $\Delta E = c m \Delta T\;$

• przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości,

Sposoby określenia

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $\scriptstyle X$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $\scriptstyle Y.$ Dwóm różnym elementom w $\scriptstyle X$ może odpowiadać ten sam element $\scriptstyle Y.$ Nie każdy element zbioru $\scriptstyle Y$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina X jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Najczęściej funkcje definiuje się wzorem lub ogólniej – algorytmem, tj. metodą pozwalającą znaleźć f(x) dla danego $x \in X$. Możliwe jest użycie rekursji, rozwinięcia w szereg potęgowy itp.

Czasem można określić funkcję opisem słownym, który bywa niekiedy wygodniejszy, np. „każdej liczbie całkowitej dodatniej n przypisano n-tą liczbę pierwszą”.

W matematyce stosowanej funkcje często określa się za pomocą tabeli lub wykresu. Nie pozwala to na ogół ustalić dokładnej zależności, lecz przy pewnych założeniach możliwa jest ich interpolacja (przybliżanie), całkowanie numeryczne itp.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Dwie funkcje $\scriptstyle f$ i $\scriptstyle g.$ Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mathrm a) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm b) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm c) = \#$
$(g \circ f)(\mathrm d) =\ !!$

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ i $g\colon Y \to Z$ można utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\Big(f(x)\Big).$

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: n-tą iteracją funkcji f nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.$

Funkcja różnowartościowa

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch $x_1, x_2 \in X$ zachodzi warunek

$x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2).$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5.$

Funkcja „na”

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina Y jest równocześnie jej zbiorem wartości. Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje co najmniej jeden taki $x \in X,$ że f(x) = y.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory X i Y mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$, którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Punkt stały

Jeżeli dla pewnego $x \in X$ zachodzi f(x) = x, wtedy x nazywa się punktem stałym funkcji f. Przykładowo, jeżeli S_l jest symetrią względem prostej l, to dla punktów P leżących na l zachodzi S_l(P) = P.

Niezmiennik

Jeżeli funkcja nie zmienia pewnej cechy obiektów, to tę cechę nazywa się niezmiennikiem funkcji. Przykładowo, niezmiennikiem funkcji $f\colon\mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = -x$ jest wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Istotnie: | f(x) | = | − x | = | x | . Niezmiennikiem funkcji f(x) = 2x jest znak liczby: wartość funkcji dla liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, dla zera jest równa zeru, dla liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

Obraz

Obrazem zbioru $A \subseteq X$ poprzez funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się podzbiór elementów $y \in Y$, dla których istnieje $x \in A$ że f(x) = y. Symbolicznie:

$f(A) = \left\{y \in Y\colon \exists_{x \in A}\; y = f(x)\right\} \subseteq Y$

Przykładowo, obrazem zbioru liczb dodatnich poprzez funkcję f(x) = − x jest zbiór liczb ujemnych. Obrazem dziedziny funkcji poprzez tę funkcję jest jej zbiór wartości nazywany również obrazem funkcji.

Przeciwobraz

Przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ nazywa się zbiór argumentów $x \in X$, którym są przyporządkowane elementy zbioru B:

$f^{-1}(B) = \left\{x \in X\colon \exist_{y \in B}\; f(x) = y\right\} \subseteq X$.

Zawężenie i przedłużenie

Mając daną funkcję $f\colon X \to Y$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru $M \subseteq X$. Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y\;$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\;$ dla każdego $x \in M$.

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$, to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$.

Z drugiej strony, dla $M \subset X$, można przedłużyć funkcję $f\colon M \to Y$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X \to Y$. Można np. wymagać, by przedłużenie g funkcji f było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Funkcje w analizie

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej nazywa się każdą funkcję $f\colon X \to Y$ gdzie X,Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Podobnie definiuje się funkcję zespoloną zmiennej zespolonej żądając, by dziedzina i przeciwdziedzina były podzbiorami zbioru liczby zespolone. Funkcje te są rozważane głównie w działach analizy matematycznej: analizie rzeczywistej i analizie zespolonej.

Na takich funkcjach można wykonywać działania, o ile tylko x należy zarówno do dziedziny f jak i dziedziny g:

• $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
• (fg)(x) = f(x)g(x)
• $\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ dla $g(x) \ne 0$

Matematycznym modelem zbioru funkcji z określonymi działaniami jest przestrzeń funkcyjna.

Rodzaje

Niektóre szczególne rodzaje funkcji:

• funkcje monotoniczne – wartości dla kolejnych argumentów są coraz większe, mniejsze, nie mniejsze, lub nie większe;
• funkcje ograniczone – zbiór wartości jest ograniczony;
• funkcje parzyste i nieparzyste – wykres jest symetryczny względem osi OY (dla funkcji parzystej) bądź początku układu współrzędnych (dla funkcji nieparzystej);
• funkcje okresowe – wartości „powtarzają się” co pewną ustaloną wartość nazwaną okresem;
• funkcje ciągłe – zachowujące bliskość argumentów (ich wykres można nakreślić „bez odrywania ołówka od kartki”);
• funkcje różniczkowalne – mające pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje jako struktury

Funkcje odgrywają ważną rolę w matematyce jako środki pomocnicze do tworzenia innych struktur (układów).

Przykład

Zapiszmy liczby 4,5,6,7 w tabeli $2 \times 2:$

$\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 7\\ \end{pmatrix}$

Taką tabelę można przedstawić w postaci funkcji, która przyporządkowuje każdemu miejscu w tabeli jedną z liczb. Poszczególne miejsca będą reprezentowane jako pary (i,j) oznaczające numer wiersza i kolumny:

$(2, 1) \mapsto 6$

Ogólnie każdą taką tabelę można zapisać w postaci funkcji

$\{(1, 1),\ (1, 2),\ (2, 1),\ (2, 2)\} \to \mathbb R,\quad (i,j )\mapsto a_{ij};$

wtedy będą znajdować się w niej liczby $a_{11},\ a_{12},\ a_{21}$ i $a_{22}\,$.

W taki sposób definiuje się obiekty takie jak ciągi i macierze. Należy pamiętać o różnicach w nomenklaturze: mimo że ciągi i macierze są funkcjami, to mówi się o „wyrazach” i „wskaźnikach”, a nie „wartościach” i „argumentach” ciągu, „elementach”, a nie „wartościach” macierzy.

Równania funkcyjne

Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja. Przykładami mogą być równania różniczkowe i równania całkowe.

Uogólnienia

Funkcje wielu zmiennych

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór par uporządkowanych (x,y), to można mówić o funkcji dwóch zmiennych. Przykładowo, jeżeli każdej parze (x,y) liczb całkowitych przyporządkujemy ich iloczyn xy, można mówić o funkcji

$f\Big((x, y)\Big) = xy,$

definiującej działanie mnożenia w tym zbiorze; zwykle jednak stosuje się notację

f(x,y) = xy.

W geometrii przykładem funkcji dwóch zmiennych jest odległość. W analogiczny sposób definiuje się funkcje większej liczby zmiennych.

Funkcje wielowartościowe

Z definicji funkcja przypisuje każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element przeciwdziedziny. Wprowadza się również tzw. funkcje wielowartościowe, funkcje wielolistne lub multifunkcje, które danemu elementowi dziedziny przypisują więcej niż jeden element przeciwdziedziny, dla odróżnienia klasyczne funkcje nazywa się czasami funkcjami jednowartościowymi lub jednolistnymi lub po prostu funkcjami. Każdą funkcję wielowartościową ze zbioru X w Y można przedstawić jako funkcję jednowartościową ze zbioru X w zbiór potęgowy $\mathcal{P}(Y)$.

Przykładami funkcji wielowartościowych są np. rozważane w analizie zespolonej funkcje ln x, arcsin x, x^{1 / n} (w gruncie rzeczy zależą one wszystkie od funkcji argumentu arg x). Funkcje wielowartościowe pojawiają się też w innych kontekstach, np. za funkcję wielowartościową można uważać także operator całkowania,

$\int f(x)dx = F(x) + C$,

którego wartościami są rodziny funkcji pierwotnych.

Morfizmy i funktory

Funkcja to szczególny rodzaj relacji między elementami danych dwóch zbiorów. Jeśli na danych zbiorach określone są pewne struktury, to od przekształceń tych zbiorów wymaga się, by zachowywały te struktury, tzn. pewna informacja o strukturze w dziedzinie została przekształcona w pewną strukturę określoną w przeciwdziedzinie. W szczególności umożliwia to wprowadzenie na przeciwdziedzinie struktury tego samego rodzaju, co struktura istniejąca w dziedzinie danego odwzorowania (z definicji funkcji wynika, że struktura w obrazie nie może być „bogatsza” niż struktura w dziedzinie).

W ten sposób można spojrzeć na funkcję dwóch zbiorów wyposażonych w struktury danego rodzaju jako na przekształcenie

$f \colon a \to b$

jednego obiektu w drugi - przekształcenia te nazywa się w teorii kategorii morfizmami obiektu a w obiekt b.

Przykładowo:

• jeśli a i b są zbiorami, to f jest funkcją;
• jeśli a i b są strukturami algebraicznymi, to f jest ich homomorfizmem;
• jeśli a i b są formułami, to f wyprowadzeniem (dowodem) b z a;
• jeśli a i b są liczbami naturalnymi, to f jest macierzą $b \times a$.

We wszystkich przypadkach, dla każdego obiektu istnieje morfizm tożsamościowy (np. funkcja tożsamościowa, dowód pusty, macierz jednostkowa) i składanie morfizmów (składanie funkcji, składanie dowodów, mnożenie macierzy). Za pomocą morfizmów można określić wiele uniwersalnych własności obiektów - bez odwoływania się do ich struktury wewnętrznej - można np. zdefiniować produkt, który w zależności od kategorii może być iloczynem kartezjańskim zbiorów, iloczynem grup, koniunkcją formuł itd.

Przekształcenia między różnymi klasami obiektów (odpowiadające funkcjom między zbiorami z wprowadzonymi różnymi strukturach) odpowiadają funktory, które przekształcają jedną kategorię obiektów w inną z zachowaniem struktury kategorii.

Zobacz też

• funkcja zdaniowa
• funkcja kardynalna
• rachunek lambda
• symbol funkcyjny