Funkcja

Funkcja f (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół:

$f\colon X \to Y$.

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną, a zbiór $Y$ – przeciwdziedziną funkcji $f.$ Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznacza się często $Y^X\;$. Ponadto:

• dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f,
• przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji,
• każdy element x zbioru X nazywa się argumentem funkcji,
• każdy element y = f(x) nazywa się wartością funkcji,
• mówi się także, że f jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y,
• zbiór $f(A) = \{y = f(x)\colon x \in A \}$ jest obrazem podzbioru A zbioru X w przekształceniu f,
• dla każdego elementu $b \in f(X)$ przeciwobrazem elementu b (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór $f^{-1}(b) = \{ a \in X\colon f(a) = b \}$; jeśli $b \notin f(X)$, to $f^{-1}(b) = \varnothing$.
• przeciwobrazem podzbioru $B \subset Y$ nazywamy zbiór $f^{-1}(B) = \{ a \in X\colon f(a) \in B \}$; jeżeli $B \cap f(X) = \varnothing$, to $f^{-1}(B) = \varnothing$

Wykres funkcji

Wykresem funkcji $f\colon X \to Y$ nazywa się zbiór $W_f = \{(x, y) \in X \times Y: y = f(x)\}$. Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_0 \in X\;$ istnieje dokładnie jeden taki $y_0 \in Y\;$, że $(x_0, y_0) \in W_f$. Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_0, y_0) \in W_f$, to $y_0 = f(x_0)\;$, przy czym $y_0\;$ jest jedynym takim elementem.

Definicja Peano funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peano:

Relacja $R \subset X \times Y$ jest funkcją, jeśli:

$\forall_{x \in X} \exist_{y \in Y} x R y$,

$\forall_{x \in X, y_1, y_2 \in Y} [x R y_1 \wedge x R y_2 \Rightarrow (y_1 = y_2)]$.

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe

Ważną klasą funkcji są funkcje

$f \colon X \to \mathbb{C}$ (zbiór $\mathbb{C}$ jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych.

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze X można zdefiniować działania arytmetyczne:

• Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f + g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) + g(x).
• Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f - g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) - g(x).
• Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f · g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) · g(x).
• Dla $f, g \colon X \to Y$ i $\forall_{x \in X} g(x) \neq 0$ funkcja f : g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) : g(x).
• Dla $f \colon X \to Y$ i $\lambda \in \mathbb{C}$ funkcja λ · f przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość λ · f(x).

Funkcja f jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia M, że dla każdego $x \in X$ spełniona jest nierówność $|f(x)| < M$.

Jeśli funkcja liczbowa f przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

$f \colon X \to \mathbb{R}$,

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

$f \colon X \to \mathbb{C}$, gdzie $X \subset \mathbb{C}$ (jest to funkcja zespolona)

$f \colon X \to \mathbb{R}$, gdzie $X \subset \mathbb{R}$ (jest to funkcja rzeczywista)

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

$f \colon X \to \mathbb{C}$, gdzie $X \subset \mathbb{C}^{n} = \underbrace{\mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}}_{n}$,

$f \colon X \to \mathbb{R}$, gdzie $X \subset \mathbb{R}^{n} = \underbrace{\mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}}_{n}$,

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

y = f (x₁, x₂, ..., x_n), gdzie x₁, ..., x_n są współrzędnymi punktu w $\mathbb{R}^{n}$ lub odpowiednio w $\mathbb{C}^{n}$.

Sposoby określania funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $\scriptstyle X$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $\scriptstyle Y.$ Dwóm różnym elementom w $\scriptstyle X$ może odpowiadać ten sam element $\scriptstyle Y.$ Nie każdy element zbioru $\scriptstyle Y$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów).

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako y = f(x) lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania F(x, y) = 0.

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

$f(x) = \begin{cases} 3^x, & \text{gdy } x > 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \\ 2x - 1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych - 0.

Funkcja może na ogól być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

$sgn(x) = \begin{cases} 1, & \text{gdy } x > 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \\ - 1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$,

albo w taki:

$sgn(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{gdy } x \ne 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \end{cases}$.

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane.

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie.

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

• $y = ax + b$ - funkcja liniowa

• $y = ax^2 + bx + c$ - funkcja kwadratowa

• $y = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ - funkcja wielomianowa

• $y = 1 + \sqrt{\ln {\sin {2 \pi x}}}$

• $P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n (x^2 - 1)^n}{dx^n}$

• $I (\alpha, \beta) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- \alpha x} \frac{\sin \beta x}{x}dx$

• $\sigma (z) = \textstyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^z}$

• $y - f(x) = 0$ - funkcja jawna zapisana jako uwikłana

• $x^2 + y^2 - 1 = 0$ - funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi x i y, gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru X, a druga przyjmuje wartości ze zbioru Y; wtedy x nazywa się zmienną niezależną, a y - zmienną zależną. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej x oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej y oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej x. Na przykład droga s w ruchu jednostajnym o prędkości v jest zależna od czasu t ruchu i wyraża się wzorem

s = v · t.

W praktyce często się zdarza, że zbiór X jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych x₁, ..., x_n. Mówimy wtedy, że zmienna y jest funkcją zmiennych x₁, ..., x_n. Na przykład siła F działająca na ciało jest zależna od masy m ciała i jego przyspieszenia a:

F = m · a.

Przykłady funkcji jako zależności między zmiennymi

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

• ruch ciał fizycznych opisywany jest przez drogę s, prędkość v i przyspieszenie a, które są funkcjami czasu

$s =s_0 + v t\;$,

$v = v_0 + a t\;$,

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ lub

$s = s_0 + v t + \frac{at^2}{2}$

• z drugiej strony czas można rozpatrywać jako funkcję drogi (w ruchu jednostajnym),

$t = \frac{s}{v}$

• pojęcie siły F tak bardzo istotne w dynamice Newtona jest funkcją masy i przyspieszenia ciała; jest to zatem funkcja dwóch zmiennych,

$F = m a\;$

• praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała,

$W = F s\;$

• energia może być zależna od różnych wielkości; energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T

$E = \frac{mv^2}{2}$, $E = mgh\;$, $\Delta E = c m \Delta T\;$

• przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości,

Rodzaje funkcji liczbowych

• funkcja rosnąca;
• funkcja malejąca;
• funkcja nierosnąca;
• funkcja niemalejąca;
• funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
• funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
• funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
• funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
• funkcja okresowa;
• funkcja ciągła;
• funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodną w każdym punkcie jej dziedziny.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Dwie funkcje $\scriptstyle f$ i $\scriptstyle g.$ Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mathrm a) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm b) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm c) = \#$
$(g \circ f)(\mathrm d) =\ !!$

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ i $g\colon Y \to Z$ można utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\Big(f(x)\Big).$

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$-tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.$

Funkcja różnowartościowa

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch $x_1, x_2 \in X$ zachodzi warunek

$x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ lub równoważnie $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 .$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5.$

Funkcja „na”

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina $Y$ jest równocześnie jej zbiorem wartości. Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje co najmniej jeden taki $x \in X,$ że $f(x) = y.$

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory $X$ i $Y$ mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$, którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

Dla funkcji $f\colon X \to Y$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru $M \subseteq X$. Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y\;$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\;$ dla każdego $x \in M$. Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f.

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$, to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$.

Z drugiej strony, dla $M \subset X$, można przedłużyć funkcję $f\colon M \to Y$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X \to Y$. Można np. wymagać, by przedłużenie $g$ funkcji $f$ było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w Średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta. Terminu funkcja użył po raz pierwszy Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie "Acta Eruditorum" w 1692 roku i dwa lata później w "Journal des Sçavans". Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w "Acta Eruditorum", nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n "dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych". Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i $\xi$,a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo "od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja". Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych.

W tym samym artykule zaproponował on jako "charakterystykę" funkcji grecką literę $\varphi$, zapisując argument jeszcze bez nawiasów $\varphi x$. Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Bibliografia

• Kołmogorow, Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989. (ros.)
• Kuratowski, Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.
• Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
• Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985. (ros.)
• Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.

Zobacz też

• funkcja zdaniowa
• funkcja kardynalna
• rachunek lambda
• symbol funkcyjny