Nierówność Lévy’ego

Nierówność Lévy’ego jest jedną z nierówności maksymalnych.

Służy do szacowania prawdopodobieństwa, że $\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|$ jest większe lub równe od pewnej ustalonej liczby rzeczywistej (gdzie $S_{k}$ to suma niezależnych symetrycznych zmiennych losowych) przez prawdopodobieństwo, że ostatnia z tych sum – $S_{n}$ jest większa lub równa niż ta sama liczba rzeczywista (z dokładnością do stałej).

Twierdzenie

Niech $X_{i}$ będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi. Niech $S_{k}=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}.$ Wówczas dla $s>0$ zachodzi

$P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)$

Dowód

Oznaczmy $A_{k}=\{|S_{1}|<s,|S_{2}|<s,\dots ,|S_{k-1}|<s,|S_{k}|\geqslant s\}.$

Zauważmy, że $A_{k}\subset (A_{k}\cap \{|S_{k}+(S_{n}-S_{k})|\geqslant s\})\cup (A_{k}\cap \{|S_{k}-(S_{n}-S_{k})|\geqslant s\}).$

Ponieważ zmienne $X_{k}$ są symetryczne, więc łączny rozkład $(S_{1},S_{2},\dots ,S_{k},(S_{n}-S_{k}))$ jest identyczny jak łączny rozkład $(S_{1},S_{2},\dots ,S_{k},-(S_{n}-S_{k})).$

Zatem $P(A_{k})\leqslant 2P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\}).$

Otrzymujemy więc tezę:

$P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})\leqslant 2\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\})\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)$