Okno czasowe

Okno czasowe – funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału. Wyobraźmy sobie, że obserwujemy pewien sygnał $u(n)$ w skończonym przedziale czasu. Wtedy wynikiem naszej obserwacji jest sygnał:

$g(n)=u(n)w(n), \ -\infty < n <\infty$

gdzie $w(n)$ jest właśnie funkcją okna. Od postaci funkcji okna zależą różnice pomiędzy widmem sygnału obserwowanego $u(n)$, a widmem wyniku obserwacji $g(n)$.

Istnieje wiele zdefiniowanych funkcji okna, kilka przykładowych przedstawiono poniżej.

Okna o wysokiej i umiarkowanie wysokiej rozdzielczości

Okno prostokątne

Rectangular window; B=1.00

$w(n) = 1\,$

Okno Gaussa

Gauss window, σ=0.4; B=1.45

$w(n)=e^{-\frac{1}{2} \left ( \frac{n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2} \right)^{2}}$

$\sigma \le \;0.5\,$

Okno Hamminga

Hamming window; B=1.37

$w(n)=0.53836 - 0.46164\; \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)$

Okno Hanna (Hanninga)

Hann window; B=1.50

$w(n)= 0.5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)$

Okno Bartletta

Okno posiada zerowe wartości skrajnych elementów.

Bartlett window; B=1.33

$w(n)=\frac{N-1}{2}-\left |n-\frac{N-1}{2}\right |\,$

Okno Trójkątne

Okno posiada niezerowe wartości skrajnych elementów.

Triangular window; B=1.33

$w(n)=\frac{N}{2}-\left |n-\frac{N-1}{2}\right |\,$

Okno Bartletta-Hanna

Bartlett-Hann window; B=1.46

$w(n)=a_0 - a_1 \left |\frac{n}{N-1}-\frac{1}{2} \right| - a_2 \cos \left (\frac{2 \pi n}{N-1}\right )$

$a_0=0.62;\quad a_1=0.48;\quad a_2=0.38\,$

Okno Blackmana

Blackman window; B=1.73

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.42;\quad a_1=0.5;\quad a_2=0.08\,$

Okno Kaisera

$w(n)=\frac{I_0\Bigg (\pi\alpha \sqrt{1 - (\begin{matrix} \frac{2 n}{N-1} \end{matrix}-1)^2}\Bigg )} {I_0(\pi\alpha)}$

Okna o niskiej rozdzielczości (ale o dużej dynamice)

Okno Nuttalla

Nuttall window, continuous first derivative; B=2.02

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.355768;\quad a_1=0.487396;\quad a_2=0.144232;\quad a_3=0.012604\,$

Okno Blackmana-Harrisa

Blackman-Harris window; B=2.01

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.35875;\quad a_1=0.48829;\quad a_2=0.14128;\quad a_3=0.01168\,$

Okno Blackmana-Nuttalla

Blackman-Nuttall window; B=1.98

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0.3635819; \quad a_1=0.4891775; \quad a_2=0.1365995; \quad a_3=0.0106411\,$

Okno Flat top

Ten rodzaj okna posiada najlepszą (w porównaniu z przedstawionymi wyżej funkcjami okna) dokładność odzwierciedlania amplitudy.

Flat top window; B=3.77

$w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)+a_4 \cos \left ( \frac{8 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=1;\quad a_1=1.93;\quad a_2=1.29;\quad a_3=0.388;\quad a_4=0.032\,$